%@Titre: Groupe Nord -- 2006
\begin{myenumerate}
\item Placer les points $A(-3~;~1)$, $B(-1,5~;~2,5)$ et $C(3~;~-2)$
  dans un repère orthonormé $(O;I,J)$.
\item Montrer que $AC= \sqrt{45}$.
\item Sachant que $AB= \sqrt{4,5}$ et $BC= \sqrt{40,5}$, démontrer
  que $ABC$ est un triangle rectangle.
\item Placer le point $D$ image de $C$ par la translation de vecteur
  $\vecteur{BA}$.
\item Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ? Justifier votre
  réponse.
\end{myenumerate}
%@Correction:
\begin{myenumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
\item \[\Eqalign{
AC^2&=(x_c-x_A)^2+(y_C-y_A)^2\cr
AC^2&=(3-(-3))^2+(-2-1)^2\cr
AC^2&=6^2+(-3)^2\cr
AC^2&=36+9\cr
AC^2&=45\cr
AC&=\sqrt{45}\cr
}\]
\item Dans le triangle $ABC$, $AC$ est le plus grand côté.
\[\left.
  \begin{array}{l}
    AC^2=45\\
    AB^2+BC^2=\left(\sqrt{4,5}\right)^2+\left(\sqrt{40,5}\right)^2=4,5+40,5=45\\
  \end{array}
\right\}AC^2=AB^2+BC^2
\]
Comme $AC^2=AB^2+BC^2$ alors le triangle $ABC$ est rectangle en $B$
d'après la réciproque du théorème de Pythagore.
\setcounter{enumi}{4}
\item Comme $D$ est l'image de $C$ par la translation de vecteur
  $\vecteur{BA}$ alors $\vecteur{CD}=\vecteur{BA}$ et le quadrilatère
  $ABCD$ est un parallélogramme.\par De plus, il possède un angle
  droit : $ABCD$ est donc un rectangle.
\end{myenumerate}