%@metapost:antillessep2009.mp
%@Titre: Antilles - Guyane -- Septembre 2009
\par\compog{3}{Antillessep2009}{1}{%
$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ tel que $AB = 3$~cm et $AC =
4$~cm.

$M$ est un point de $[BC]$.

La perpendiculaire à $(AB)$ passant par $M $coupe $(AB)$ en $P$.

La perpendiculaire à $(AC)$ passant par $M$ coupe $(AC)$ en $Q$.}

\medskip
\textbf{Partie A}

\medskip
Justifier que :

\begin{Enumerate}
\item $BC = 5$~cm 
\item Le quadrilatère $APMQ$ est un rectangle 
\item $\dfrac{BP}{3} = \dfrac{BM}{5} = \dfrac{PM}{4}$. 
\end{Enumerate}

\bigskip
\textbf{Partie B}

\medskip
On suppose dans cette partie que $BM=2$~cm.

\begin{Enumerate}
\item Calculer $BP$, $PM$ puis en déduire $AP$.
\item Calculer l'aire du rectangle $APMQ$.
\end{Enumerate}

\bigskip
\textbf{Partie C}

\medskip
On suppose dans cette partie que $BM= x$~cm avec $0 < x < 5$.

\begin{Enumerate}
\item En utilisant la question 3  de la Partie A, exprimer $BP$ et
  $PM$ en fonction de $x$.
\item  En déduire $AP$ en fonction de $x$.
\item  Pour quelle valeur de $x$, $APMQ$ est-il un carré? 
\item  On note $\mathcal{A}(x)$ l'aire, en cm$^2$ du rectangle $APMQ$.

Justifier que $\mathcal{A}(x) = 2,4x - 0,48x^2$. 
\item  On donne la représentation graphique de la fonction
  $\mathcal{A}$ ci-dessous : 
\[\includegraphics{Antillessep2009-4.pdf}\]
\begin{Enumerate}
  \item En s'aidant du graphique, trouver le(s) valeur(s) de $x$ pour
    lesquelles l'aire du rectangle $APMQ$ est de 1~cm$^2$.
  \item Déterminer graphiquement la valeur de $x$ pour laquelle l'aire
    de $APMQ$ est maximale. Donner cette aire maximale.
\end{Enumerate}
\end{Enumerate}