Modifié le 3 Mai 2009 à 21 h 02.
%@P:exocorcp
\begin{myenumerate}
\item Construis un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB=5$~cm
et $\widehat{ABC}=60\degres$.
\item
\begin{enumerate}
\item Montre que la longueur $BC$ mesure 10~cm.
\item Calcule alors la longueur $AC$.
\end{enumerate}
\item Soit $E$ le point du segment $[BA]$ tel que $BE=2$~cm. Soit $F$
et $G$ les points du segment $[BC]$ tels que $BF=1,5$~cm et
$CG=6$~cm.
\\Les droites $(EF)$ et $(GA)$ sont-elles parallèles ? Justifie.
\item
\begin{enumerate}
\item Les droites $(AC)$ et $(GE)$ sont-elles parallèles ? Justifie.
\item Les droites $(GE)$ et $(BA)$ sont-elles perpendiculaires ?
Justifie.
\item Est-il vrai que $EG=\sqrt{10}$ ? Justifie.
\end{enumerate}
\end{myenumerate}
%@Correction:
\begin{myenumerate}
\item
\[\includegraphics{3geoplaneexo21.1}\]
\item
\begin{enumerate}
\item Dans le triangle $ABC$, rectangle en $A$, on a :
\[\Eqalign{
\cos\widehat{ABC}&=\frac{AB}{BC}\cr
\cos60&=\frac5{BC}\cr
BC&=\frac5{\cos60}\cr
BC&=10~\mbox{cm}\cr
}\]
\item \setboolean{racine}{true}\pythahypo CAB{10}{5}
\end{enumerate}
\item Dans le triangle $BAG$, $E$ appartient à la droite $(BA)$ et
$F$ appartient à la droite $(BG)$.
\[\left.
\begin{array}{l}
\dfrac{BE}{BA}=\dfrac25=\dfrac{16}{40}\\
\\
\dfrac{BF}{BG}=\dfrac{1,5}4=\dfrac{15}{40}\\
\end{array}
\right\}\frac{BE}{BA}\not=\frac{BF}{BG}\]
Les droites $(EF)$ et $(GA)$ ne sont pas parallèles.
\item
\begin{enumerate}
\item Dans le triangle $BAC$, $E$ appartient à la droite $(BA)$ et
$G$ appartient à la droite $(BC)$.
\[\left.
\begin{array}{l}
\dfrac{BE}{BA}=\dfrac25\\
\\
\dfrac{BG}{BC}=\dfrac4{10}=\dfrac25\\
\end{array}
\right\}\frac{BE}{BA}=\frac{BF}{BG}\]
De plus, les points $B$, $E$, $A$ et $B$, $G$, $C$ sont alignés
dans le même ordre. Donc les droites $(EG)$ et $(AC)$ sont
parallèles d'après la réciproque du théorème de Thalès.
\item Comme les droites $(AC)$ et $(AB)$ sont perpendiculaires et
que les droites $(AC)$ et $(GE)$ sont parallèles alors les droites
$(AB)$ et $(GE)$ sont perpendiculaires.
\item \setboolean{racine}{true}\pythadroit GEB{4}{2}\par Donc $EG\not=\sqrt{10}$.
\end{enumerate}
\end{myenumerate}