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%@metapost:nantes1997.mp
%@Titre: Nantes -- 1997
\par\compo{3}{nantes1997}{1}{On considère un triangle équilatéral
$ABC$. Les droites $(OA)$, $(DB)$ et $(OC)$ sont les trois médiatrices
du triangle $ABC$. La longueur $DB$ est 6~cm. La droite $(OA)$
coupe le segment $[BC]$ en $A'$.
\par{\em On ne demande pas de reproduire la figure}.
}
\begin{myenumerate}
\item Justifier que l'angle $\widehat{OBA'}$ mesure 30\degres.
\item
\begin{enumerate}
\item En utilisant $\sin\widehat{OBA'}$, démontrer que la longueur du
segment $[OA']$ est 3~cm.
\item Démontrer que la longueur du segment $[BA']$ est $3\sqrt3$~cm.
\item En déduire la longueur exacte du segment $[BC]$.
\end{enumerate}
\item Soit $E$ le point du segment $[OC]$ tel que $DE=2$~cm. La
parallèle à la droite $(BC)$ passant par le point $E$ coupe le segment
$[OB]$ en $F$.\par Calculer les longueurs des segments $[OF]$ et
$[EF]$.
\item Démontrer que l'aire du triangle $COB$ est $9\sqrt3$~cm$^2$.
\item Le cercle circonscrit au triangle $ABC$ coupe la droite $(AA')$
en $A$ et en un autre point noté $K$. Démontrer que le quadrilatère
$OBKC$ est un losange.
\item Calculer l'aire du losange $OBKC$.
\end{myenumerate}