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%@metapost:aix1998.mp
%@Titre: Aix -- 1998
\par\compo{6}{aix1998}{1}{\paragraph{Prélude}
\begin{myenumerate}
\item D'après la figure ci-contre, tracer $ABCP$ en respectant les
données suivantes : $AB=6$~cm; $BC=8$~cm ; $BM=3$~cm ; et $(CP)//(AB)$.
\item Mesurer les angles $\widehat{BAM}$ et $\widehat{MAC}$.
\par Pourquoi ces mesures ne permettent-elles pas d'affirmer que la
droite $(AM)$ est la bissectrice de $\widehat{BAC}$?
\end{myenumerate}
}
\par\vspace{2mm}{\em Les deux parties peuvent être traitées indépendamment l'une
de l'autre.}
\paragraph{Première Partie}
\begin{myenumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur $AC$.
\item Calculer $\widehat{BAC}$ et $\widehat{BAM}$ le plus précisément
possible.
\par Expliquer pourquoi les valeurs obtenues ne permettent pas
d'affirmer que la droite $(AM)$ est la bissectrice de $\widehat{BAC}$.
\end{enumerate}
\item Calculer la longueur $CP$.
\item Quelle est la nature du triangle $ACP$ ? Que peut-on en déduire
pour les angles $\widehat{MAC}$ et $\widehat{CPM}$ ?
\item Démontrer alors que $\widehat{MAC}=\widehat{BAM}$ et donc que la
droite $(AM)$ est bien la bissectrice de $\widehat{BAC}$.
\end{myenumerate}
\paragraph{Deuxième Partie}
\begin{myenumerate}
\item La droite $(AM)$ est, d'après la première partie, la bissectrice
de l'angle $\widehat{BAC}$ . Sur la figure tracée à la première
question du prélude :
\begin{itemize}
\item tracer la bissectrice, $(d)$, de l'angle $\widehat{ABM}$;
\item nommer $O$ le point d'intersection de la droite $(d)$ et de la
droite $(AM)$;
\item tracer la hauteur issue de $O$ du triangle $AOB$ et la hauteur
issue de $O$ du triangle $BOM$ (ces hauteurs sont des rayons du cercle
inscrit dans le triangle $BAC$);
\item tracer ce cercle.
\end{itemize}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire du triangle $ABM$.
\item Exprimer l'aire du triangle $AOB$ et l'aire du triangle $BOM$ en
fonction du rayon $r$ du cercle inscrit dans le triangle $BAC$.
\item Trouver une relation entre ces trois aires.
\par En déduire le rayon $r$.
\end{enumerate}
\end{myenumerate}