%@metapost:groupeIsep1999.mp %@Titre: Groupe I (Sept.) -- 1999 Un paysagiste doit planter des arbres. Chaque arbre est placé dans un trou cylindrique. Il est ensuite maintenu au sol à l'aide de câbles, comme le montre le dessin ci-dessous. \\Dans le problème, l'unité de longueur choisie est le {\bf décimètre}. \\Toutes les réponses seront justifiées. \begin{center} \textbf{\Large{Partie A }} \end{center} \compo{3}{groupeIsep1999}{1}{ On donne les informations suivantes : \begin{itemize} \item les points $A$, $B$ et $C$ déterminent un triangle rectangle en $A$ ; \item $AB=18$ ; $AC=9$ ; \item $D$ est un point du segment $[AB]$, tel que $AD=\dfrac23AB$ ; \item $E$ est un point du segment $[AC]$ ; \item les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles. \end{itemize} \begin{myenumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la valeur exacte de $AD$. \item Prouver que $\dfrac{AE}{AC}=\dfrac23$. En déduire la valeur exacte de $AE$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la valeur exacte de $BC$. L'écrire sous la forme $a\sqrt5$, où $a$ est un nombre entier. \item Prouver que $DE=6\sqrt5$. \end{enumerate} \item Déduire des questions précédentes le périmètre du quadrilatère $DBCE$. \item Calculer la mesure, arrondie au degré, de l'angle $\widehat{ADE}$. \end{myenumerate} } \begin{center} \textbf{\Large{Partie B }} \end{center} Le rayon $r$ du trou creusé dans le sol mesure 4~dm. La profondeur $p$ du trou mesure 7~dm. \begin{myenumerate} \item Calculer le volume $V_1$, exprimé en dm$^3$, du trou creusé pour loger un arbre. Donner la réponse sous la forme $k\times\pi$, où $k$ est un nombre entier. \item Le volume de la terre augmente de 25\% lorsqu'on la déplace. Soit $V_2$ le volume, exprimé en dm$^3$, qu'occupera la terre déplacée. Montrer que $V_2=140\pi$. \item Avec la terre déplacée, on forme un cône de volume $V_2$ et dont le rayon mesure 6~dm.\\Calculer la hauteur de ce cône. On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée au décimètre près. \end{myenumerate}