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%@metapost:reunionsep1999.mp
%@Titre: Réunion (Sept.) -- 1999
\textit{Dans tout le problème, l'unité utilisée est le centimètre.}
\\On considère un triangle $ABC$ tel que : $AB=12$, $AC=9$ et $BC=15$.
\begin{center}
\textbf{\Large{Partie A }}
\end{center}
$E$ est le point du segment $[AB]$ tel que $AE=9$ ; la parallèle à la droite $(BC)$ passant par le point $E$ coupe le côté $[AC]$ en $F$.
\begin{myenumerate}
\item Faire une figure.
\item Calculer $AF$, puis $FE$.
\item Montrer que $AFE$ est un triangle rectangle en $A$.
\item
  \begin{enumerate}
  \item Quelle est la nature du triangle $ACE$ ? Préciser la position du centre du cercle circonscrit à ce triangle.
  \item Montrer que la médiatrice du segment $[CE]$ passe par $A$.
  \end{enumerate}
\item Soit $I$ le milieu du segment $[BC]$. On appelle $D$ le symétrique de $A$ par rapport à $I$.
\\Quelle est la nature du quadrilatère $ABDC$ ? Justifier la réponse.
\end{myenumerate}
\begin{center}
\textbf{\Large{Partie B }}
\end{center}
$M$ est un point du segment $[AB]$ ; on désigne par $x$ la longueur $AM$.
\\La parallèle à la droite $(BC)$ passant par le point $M$ coupe le côté $[AC]$ en $N$.
\\Sur la figure ci-dessous, les dimensions ne sont pas respectées.
\par\compo{4}{reunionsep1999}{1}{
\begin{myenumerate}
\item Montrer que $AN=\dfrac34x$.
\item Montrer que $MN=\dfrac84x$.
\item Exprimer $MB$ en fonction de $x$.
\item Exprimer $NC$ en fonction de $x$.
\item $P_1$ désigne le périmètre du triangle $AMN$ et $P_2$ désigne celui du trapèze $MNCB$.
  \begin{enumerate}
  \item Calculer $P_1$ en fonction de $x$.
  \item Montrer que $P_2=36-\dfrac42x$.
  \end{enumerate}
\item Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $P_1=P_2$ ?
\end{myenumerate}
}