%@metapost:etrangersI2-2000.mp %@Titre: Centres étrangers -- 2000 \textit{Les trois parties du problème sont indépendantes.} \\Les figures ci-dessous ne sont pas en vraie grandeur. \\On sait que : \begin{itemize} \item $MATH$ est un carré de centre $E$ et de 12~cm de côté. \item $O$ est le milieu du segment $[MH]$. \item $S$ appartient à $[EO]$ et $SO=4$~cm. \item Les droites $(EO)$ et $(MH)$ sont perpendiculaires. \end{itemize} \begin{center} \textbf{\Large{Partie A }} \end{center} \par\compo{5}{etrangersI2-2000}{1}{ \begin{myenumerate} \item Faire la figure en vraie grandeur. \item Montrer que le triangle $MSH$ est isocèle en $S$. \item \begin{enumerate} \item Calculer la valeur exacte de $SM$. \item Montrer que la valeur exacte du périmètre du triangle $MSH$ est $12+2\sqrt{52}$. \end{enumerate} \end{myenumerate} } \begin{center} \textbf{\Large{Partie B }} \end{center} \par\compo{6}{etrangersI2-2000}{1}{ Soit $N$ un point du segment $[SO]$ ; on pose $NO=x$ (exprimé en centimètres). \\On note $A_1$ l'aire du triangle $HNO$ et $A_2$ l'aire du triangle $MSN$ (exprimées en cm$^2$). \begin{myenumerate} \item Montrer que $A_1=3x$. \item Exprimer $SN$ en fonction de $x$. \item Montrer que $A_2=3(4-x)$. On pourra remarquer que $[MO]$ est une hauteur du triangle $MSN$. \item Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $A_1=3 A_2$ ? \end{myenumerate} } \begin{center} \textbf{\Large{Partie C }} \end{center} $F$ est un point quelconque du segment $[TH]$. Prouver que le point d'intersection $I$ des segments $[FM]$ et $[EO]$ est le milieu du segment $[MF]$.