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Fichier TeX
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%@metapost:nancy2000.mp
%@Titre: Nancy -- 2000
\begin{center}
\textbf{\Large{Partie A }}
\end{center}
\par\compo{2}{nancy2000}{1}{
La partie supérieure d'un verre a la forme d'un cône de 6~cm de diamètre de base et de hauteur $AS=9$~cm.
\begin{myenumerate}
\item Montrer que le volume du cône est $27\pi$~cm$^3$.
\item On verse un liquide dans ce verre (comme indiqué ci-contre), le liquide arrive à la hauteur du point $H$.
  \begin{enumerate}
  \item On suppose que $HS=4,5$~cm. La surface du liquide est un disque. Calculer le rayon $HC$ de ce disque (on justifiera les calculs).
  \item Exprimer en fonction de $\pi$ le volume correspondant du liquide en cm$^3$.
  \item On pose, maintenant, $HS=x$ (en centimètres).\\Montrer que le rayon $HC$ de la surface du liquide est égal à $\dfrac{x}3$.
\\Montrer alors, par le calcul, que le volume, $V$, de liquide est donné en fonction de $x$, par la formule : $V=\dfrac{\pi x^3}{27}$~cm$^3$.
  \item En utilisant la formule précédente, calculer le volume de liquide lorsque $HS=3$~cm, puis lorsque $HS=6$~cm.
  \end{enumerate}
\end{myenumerate}
}
\begin{center}
\textbf{\Large{Partie B }}
\end{center}
On verse ensuite le liquide contenu dans ce cône dans un verre cylindrique de même section de 6~cm de diamètre et de même hauteur 9~cm (figure ci-contre).
\begin{myenumerate}
\item Montrer que le volume total du cylindre est $81 \pi\,\mbox{cm}^3$.
\item Combien de cônes remplis à ras bord faudra-t-il ainsi vider pour remplir le cylindre ?
\end{myenumerate}
\par\compo{3}{nancy2000}{1}{
\begin{myenumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item On désigne par $y$ la hauteur en cm du liquide contenu dans le cylindre ($y=GF$ sur le dessin).
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que le volume, en cm$^3$, du liquide contenu dans le
    cylindre est $9 \pi y$.
  \item Montrer que, lorsque l'on verse dans le cylindre le volume
    $V=\dfrac{\pi x^3}{27}~\mbox{cm}^3$ du liquide contenu dans le
    cône, la hauteur $y$ obtenue est reliée à $x$ par la relation :
    $x^3=243y$.
  \item Recopier et remplir le tableau suivant, où $x$ et $y$ sont
    reliés par la relation précédente (on donnera les valeurs
    décimales approchées de $y$, avec trois décimales exactes).
$$
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$x$ &0&1&2&3&4&5&6&7\\
\hline
$y$ &&&&&&&& \\
\hline
\end{tabular}
$$
  \item Représenter graphiquement les huit points obtenus dans le
    tableau (on prendra 1~cm comme unité sur l'axe des abscisses et
    10~cm comme unité sur l'axe des ordonnées, l'origine du repère
    sera placée sur le bord inférieur gauche de la feuille).
\end{enumerate}
\end{myenumerate}
}