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%@metapost:polynesiesep2000.mp
%@Titre: Polynésie (Sept.) -- 2000
\textit{Dans tout le problème, les longueurs sont exprimées en cm et les volumes en cm$^3$.}
\par\compo{1}{polynesiesep2000}{1}{$$\includegraphics{polynesiesep2000.2}$$
}
\par On rappelle que le volume du cylindre de révolution d'aire de base $S$ et de hauteur $h$ est donné par la formule $V=S \times h$.
\\On rappelle que le volume d'un cône de révolution d'aire de base $S$ et de hauteur $h$ est donné par la formule $V=\dfrac13S \times h$.
\begin{center}
\textbf{\Large{Partie I}} 
\end{center}
On considère les deux verres représentés ci-dessus.
\begin{itemize}
\item le premier verre est un cylindre de révolution dont l'aire de base est 30 et dont la hauteur mesure $2x$, où $x$ est un nombre positif, $x \leqslant 4$.
\item Le deuxième verre est constitué d'un cône dont l'aire de base est 30 et dont la hauteur mesure $x$, surmonté d'un cylindre dont l'aire de base est 30 et dont la hauteur vaut 2.
\end{itemize}
Soient $V_{1}$ le volume du premier verre et $V_{2}$ le volume du deuxième verre.
\begin{myenumerate}
\item Exprimer ces volumes en fonction de $x$.
\item
\begin{enumerate}
\item $V_{1}$ est-il proportionnel à $x$ ? Justifier.
\item $V_{2}$ est-il proportionnel à $x$ ? Justifier.
\end{enumerate} 
\end{myenumerate}
\begin{center}
\textbf{\Large{Partie II}} 
\end{center}
\textit{Cette partie peut être traitée même sans avoir résolu la partie I.}
\begin{myenumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Tracer dans un repère orthogonal $(O, I, J)$ en prenant :
\begin{itemize}
\item 2~cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses ;
\item 1~cm pour 10 unités sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize}
On placera l'origine $O$ du repère en bas à gauche de la feuille.
\item Dans ce repère, construire les représentations graphiques des fonctions $f_{1}$ et $f_{2}$ définies par :
$$f_{1}(x)=60x\mbox{ et }f_{2}(x)=10x+60$$
\end{enumerate}
\item Résoudre l'équation suivante :
$$ 60x=10x+60$$
\item Retrouver sur le graphique la solution de cette équation, en faisant apparaître en couleur les tracés effectués.
\end{myenumerate}
\begin{center}
\textbf{\Large{Partie III}} 
\end{center}
En utilisant les résultats obtenus dans la partie I et la partie II, déterminer pour quelles valeurs de $x$ le deuxième verre a une contenance inférieure à celle du premier.