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Source de exo05.tex

Fichier TeX
Image PNG
%@metapost:espagne2001.mp
%@Titre: Espagne -- 2001
\par\compo{2}{espagne2001}{1}
{
$$\includegraphics{espagne2001.3}$$
}
\par\vspace{2mm}\par La figure 1 représente une boîte en forme de
parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ de mesures $AB=28$~cm, $BC=14$~cm
et $AE=20$~cm.
 
Les diagonales de la face $ABCD$ se coupent en un point $O$, les
diagonales de la face $EFGH$ se coupent en $O'$.
 
\`A l'intérieur de cette boîte est posée une pyramide de sommet $O$ et
de base $EFGH$. Notons $K$ le point de $[OE]$ tel que $OK=17$~cm.
 
On coupe cette pyramide par un plan parallèle à la face $EFGH$ et
passant par le point $K$ ; on désigne par $KRST$ le rectangle section
de la pyramide par ce plan, où $R$ (respectivement $S$ et $T$) est le
point d'intersection de ce plan avec l'arête $[OH]$ de la pyramide
(respectivement $[OG]$ et $[OF]$).
 
La droite $(KR)$ (respectivement les droites $(RS)$, $(ST)$, $(TK)$)
est parallèle à la droite $(EH)$, (respectivement aux droites $(HG)$,
$(GF)$, $(FE)$). Le triangle $OO'E$ est rectangle en $O'$.
 
\begin{myenumerate}
\item Calculer la valeur exacte de $O'E$. Donner une valeur approchée
  de $O'E$ au dixième près.
\item Calculer la valeur exacte de $OE$. Donner une valeur approchée
  de $O'E$ au dixième près.
\item Calculer $KR$ et $KT$. On donnera les résultats arrondis au dixième près.
\item On remplit de sable la partie de la boîte non occupée par la pyramide.
 
Calculer le volume de sable utilisé. Donner le résultat du calcul
arrondi à l'unité près. On rappelle que le volume d'une pyramide est
égal au tiers de la surface de la base par la hauteur.
\item On veut reverser ce sable dans un aquarium représenté figure 2,
  qui a la forme d'une calotte sphérique de centre $O$, de rayon
  $R=12$~cm, de hauteur $h$ égale à 21~cm, dont l'ouverture est un
  cercle de centre $I$ et de rayon $IM$.
\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte du rayon $IM$.
\item Calculer le volume de l'aquarium, sachant que le volume d'une
  calotte sphérique est donné par la formule : $V=\dfrac{\pi
    h^2}3(3R-h)$ où $R$ est le rayon de la sphère et $h$ la hauteur de
  la calotte sphérique.
 
On donnera le résultat de $V$ arrondi à l'unité près.
 
L'aquarium est-il assez grand pour contenir tout le sable qu'on a
utilisé à la question 5. ?
\end{enumerate}
\end{myenumerate}