%@metapost:gpe22001.mp %@Titre: Groupement 2 -- 2001 \paragraph{Partie A}\subitem{} \par $EFG$ est un triangle isocèle en $E$ tel que $FG=5$~cm et $EG=6$~cm. Le cercle $({\cal C})$ de centre $O$ et de diamètre $[EG]$ coupe le segment $[FG]$ en $K$.\par{\em La figure ci-dessous n'est pas dessinée en vraie grandeur}. $$\includegraphics{gpe22001.3}$$ \begin{myenumerate} \item Réaliser la figure en vraie grandeur (utiliser une feuille à part). \item \begin{enumerate} \item Démontrer que $EKG$ est un triangle rectangle. \item Démontrer que $K$ est le milieu du segment $[FG]$. \item Calculer la valeur exacte de $EK$. Donner une valeur approchée à 1~mm près. \end{enumerate} \item Soit $S$ l'image du point $E$ par la translation de vecteur $\vecteur{KG}$. \begin{enumerate} \item Placer le point $S$ sur la figure. \item Démontrer que $ESGK$ est un rectangle. \end{enumerate} \end{myenumerate} \paragraph{Partie B}\subitem{} \par Compléter la figure en plaçant un point $P$ sur un segment $[EG]$ (ne pas placer $P$ en $O$).\par Tracer la parallèle à la droite $(FG)$ passant par $P$. Elle coupe la droite $(EF)$ en $R$.\par On nomme $x$ la longueur du segment $[EP]$ exprimée en cm. \begin{myenumerate} \item Préciser sans justifier la nature du triangle $EPR$. \item Démontrer que $PR=\dfrac56x$. \item Exprimer en fonction de $x$ le périmètre du triangle $EPR$. \item Démontrer que le périmètre du trapèze $RPGF$ est égal à $\dfrac{-7x}6+17$. \item Peut-on trouver une position du point $P$ sur le segment $[EG]$ pour laquelle le triangle et le trapèze aient le même périmètre ? Justifier la réponse. \end{myenumerate}