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%@metapost:asie2004.mp
%@Titre: Asie -- 2004
\par $ABCD$ est un losange dont les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ se coupent en $O$.\par On donne $AB=5$~cm et $AC=6$~cm.
\[\includegraphics{asie2004.2}\] 
{\em Sur cette figure, les dimensions ne sont pas respectées.}
\par\centerline{\bf Partie I}
\begin{myenumerate}
\item Calculer $BO$, justifier. En déduire que $BD=8$~cm.
\item Calculer la mesure arrondie au degré de l'angle $\widehat{ABO}$.
\item Calculer l'aire du losange $ABCD$.
\end{myenumerate}
\par\centerline{\bf Partie II}
\par On place un point $M$ sur le segment $[AB]$.\par La droite passant par $M$ et parallèle à la droite $(BD)$ coupe le côté $[AD]$ en $N$.
\begin{myenumerate}
\item On suppose que $AM=3$. Calculer $AN$ et $MN$. Justifier.
\item On pose $AM=x$. Montrer que $MN=1,6x$.
\end{myenumerate} 
\par\centerline{\bf Partie III}
\par Pour cette partie, on a encore $AM=x$. \par La droite passant par $M$ et parallèle à la droite $(AC)$ coupe le côté $[BC]$ en $P$.
\begin{myenumerate}
\item Exprimer $BM$ en fonction de $x$, puis montrer que $MP=6-1,2x$.
\item Calculer la valeur de $x$ pour laquelle le triangle $MNP$ est isocèle en $M$.
\end{myenumerate}
\par\centerline{\bf Partie IV}
\begin{myenumerate}
\item Montrer que la droite $(AC)$ est perpendiculaire à la droite $(MN)$ puis que $AM=AN$.\par En déduire que la droite $(AC)$ est la médiatrice du segment $[MN]$.
\par De la même façon, on démontrerait que la droite $(BD)$ est la médiatrice du segment $[MP]$.
\item En déduire le rôle du point $O$ pour le triangle $MNP$.
\end{myenumerate}