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Source de 2005exo01.tex

Fichier TeX
Image PNG
%@Titre: Groupe Nord -- 2005
\begin{myenumerate}
  \item Sur la page annexe, à rendre avec la copie, dans le repère
    orthonormé $(O,I,J)$ tel que $OI=OJ=1$~cm, placer les points
    $A(0;4)$; $B(3;2)$; $C(-1;-4)$.
  \item Calculer la longueur $BC$, donner la valeur exacte puis la
    valeur arrondie au dixième.
  \item En admettant que $AB=\sqrt{13}$~cm et $AC=\sqrt{65}$~cm,
    démonter que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
  \item Placer dans le repère le point $E$, image du point $C$ dans la
    translation de vecteur $\vecteur{BA}$.
  \item Démontrer que le quadrilatère $ABCE$ est un rectangle.
\end{myenumerate}
%@Correction:
\begin{myenumerate}
  \item\[\includegraphics{gpenord2005.1}\]
  \item On a
\[\Eqalign{
BC^2&=(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2\cr
BC^2&=(-1-3)^2+(-4-2)^2\cr
BC^2&=(-4)^2+(-6)^2\cr
BC^2&=16+36\cr
BC^2&=52\cr
BC&=\sqrt{52}\cr
BC&\approx7,2\,\mbox{cm}\cr
}\]
\item Dans le triangle $ABC$, $[AC]$ est le plus grand côté.
\[\left.
  \begin{array}{l}
    AC^2=\sqrt{65}^2=65\\
\\
AB^2+BC^2=\sqrt{13}^2+\sqrt{52}^2=13+52=65\\
  \end{array}
\right\}AC^2=AB^2+BC^2
\]
Comme $AC^2=AB^2+BC^2$ alors le triangle $ABC$ est rectangle en $B$
d'après la réciproque du théorème de Pythagore.
\item {\em Voir ci-dessus.}
\item Comme $E$ est l'image de $C$ par la translation de vecteur
  $\vecteur{BA}$ alors $\vecteur{CE}=\vecteur{BA}$.
\\Comme $\vecteur{CE}=\vecteur{BA}$ alors le quadrilatère $ABCE$ est
un parallélogramme.
\\De plus, il possède un angle droit d'après la question 3/. Donc
$ABCE$ est un rectangle.
\end{myenumerate}