%@metapost:ameriquenord2005.mp %@Titre: Amérique Nord -- 2005 \par\compo{7}{ameriquenord2005}{1}{$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ avec $AB=4$~cm et $AC=3$~cm.\\$M$ est un point de $[BC]$, $P$ est un point de $[AB]$ et $Q$ un point de $[AC]$ tels que le quadrilatère $APMQ$ soit un rectangle.\\ Notons $x$ la longueur $BP$ en cm.} \par\centerline{\bf Partie I} \par \begin{myenumerate} \item Montrer que $PM=\dfrac34x$. \item Montrer que le périmètre du rectangle $APMQ$ est égal à $8-\dfrac{x}2$. \item \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi on a $0\leqslant x\leqslant4$. \item Est-il possible de placer $M$ sur $[BC]$ pour que le périmètre du rectangle $APMQ$ soit égal à : 7~cm ? 4~cm ? 10~cm ? \end{enumerate} \item Faire la figure dans le cas où le périmètre est 7~cm. \end{myenumerate} \par\centerline{\bf Partie II} \begin{myenumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la longueur $BC$. \item Montrer que $BM=\dfrac{5x}4$. \end{enumerate} \item En déduire, en fonction de $x$, le périmètre du triangle $BPM$. \item Construire dans un repère orthonormé les représentations graphiques des fonctions: \[x\longmapsto3x\quad\text{et}\quad x\longmapsto8-\dfrac{x}2\] \item \begin{enumerate} \item Déterminer graphiquement une valeur approchée de $x$ pour laquelle $BPM$ et $APMQ$ ont le même périmètre. \item Trouver par un calcul la valeur exacte de $x$. \end{enumerate} \end{myenumerate}