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%@metapost:ameriquenord2005.mp
%@Titre: Amérique Nord -- 2005
\par\compo{7}{ameriquenord2005}{1}{$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ avec $AB=4$~cm et $AC=3$~cm.\\$M$ est un point de $[BC]$, $P$ est un point de $[AB]$ et $Q$ un point de $[AC]$ tels que le quadrilatère $APMQ$ soit un rectangle.\\
Notons $x$ la longueur $BP$ en cm.}
\par\centerline{\bf Partie I}
\par
\begin{myenumerate}
\item Montrer que $PM=\dfrac34x$.
\item Montrer que le périmètre du rectangle $APMQ$ est égal à $8-\dfrac{x}2$.
\item
\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi on a $0\leqslant x\leqslant4$.
\item Est-il possible de placer $M$ sur $[BC]$ pour que le périmètre du rectangle $APMQ$ soit égal à : 7~cm ? 4~cm ? 10~cm ?
\end{enumerate}
\item Faire la figure dans le cas où le périmètre est 7~cm.
\end{myenumerate}
\par\centerline{\bf Partie II}
\begin{myenumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur $BC$.
\item Montrer que $BM=\dfrac{5x}4$.
\end{enumerate}
\item En déduire, en fonction de $x$, le périmètre du triangle $BPM$.
\item Construire dans un repère orthonormé les représentations graphiques des fonctions:
\[x\longmapsto3x\quad\text{et}\quad x\longmapsto8-\dfrac{x}2\]
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement une valeur approchée de $x$ pour laquelle $BPM$ et $APMQ$ ont le même périmètre.
\item Trouver par un calcul la valeur exacte de $x$.
\end{enumerate}
\end{myenumerate}