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%@metapost:nice2005.mp
%@Titre: Nice -- 2005
\par Un sablier est constitue de deux pyramides superposées comme le montre le croquis ci-dessous.
\[\includegraphics[scale=0.9]{nice2005.4}\kern1.5cm\includegraphics[scale=0.9]{nice2005.5}\]
Le sable s'écoule au niveau du point $S$. La surface du sable est représentée par le plan $A'B'C'D'$ horizontal et parallèle aux bases des pyramides.
\par On suppose qu'au départ, le volume du sable occupe la totalité de la pyramide $SABCD$.
 La pyramide $SABCD$  est régulière, sa base est un carré $ABCD$, on rappelle que la hauteur $(SO)$ est perpendiculaire au plan $ABCD$.
\par On donne $OA=27$~mm, $SO=120$~mm.
\par{\em Dans tout ce problème $A'$ est le milieu de $[SA]$}
\begin{myenumerate}
\item Représenter la base $ABCD$ en vraie grandeur.
\item
\begin{enumerate}
\item Justifier que le triangle $AOB$ est rectangle isocèle.
\item Montrer que $AB=27\sqrt2$~mm.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire du carré $ABCD$.          
\item En déduite que le volume $\cal V$ de la pyramide $SABCD$ est 58\,320~mm$^3$.
\end{enumerate}
\item Le triangle $SOA$ est rectangle. Montrer que $SA=1\,232$~mm.
\item La pyramide $SA'B'C'D'$ est une réduction de la pyramide $SABCD$.
\begin{enumerate}
\item Que peut-on dire des droites $(OA)$ et $(O'A')$ ?
\item Déterminer le coefficient de réduction $\dfrac{SO'}{SO}$.
\end{enumerate}
\item On note ${\cal V}'$ le volume de la pyramide $SA'B'C'D'$.
\\Calculer ${\cal V}'$.
\item On admet que le volume du sable descendu est proportionnel au temps écoulé. Tout le sable s'écoule en 4 minutes. Au bout de combien de temps le niveau de sable est-il dans la position étudiée ?
\end{myenumerate}