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%@metapost:etrangersnice2006.mp
%@Titre: Centres étrangers (Nice) -- 2006
\par Lors d'une de ses tournées, le chanteur Philibert Collin utilisa
une scène en forme de chapiteau : une pyramide régulière à base
hexagonale dont les faces latérales s'ouvrirent au début du concert et
se refermèrent à la fin.
\par\centerline{\bf Partie 1 : La base hexagonale}\par
La scène est un hexagone régulier (voir figure ci-dessous) inscrit
dans un cercle de centre $O$ et de rayon 10~m.
\par\compo{4}{etrangersnice2006}{1}{
\begin{myenumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Démontrer que $OAB$ est un triangle équilatéral.
    \item En déduire le périmètre de la scène.
    \end{enumerate}
  \item Démontrer que $OABC$ est un losange.
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Démontrer que $FAC$ est un triangle rectangle.
    \item Calculer $AC$. (On donnera la valeur exacte et une valeur
      approchée arrondie au centième.)
    \end{enumerate}
  \item Calculer l'aire de la scène. (On donnera la valeur exacte et une valeur
      approchée arrondie au centième.)
\end{myenumerate}
}
\par\vspace{5mm}\par\centerline{\bf Partie 2 : La pyramide}\par
Avant et après le spectacle, on observe une pyramide $SABCDEF$, de
sommet $S$ dont la base est un hexagone régulier $ABCDEF$. On
supposera, dans cette partie, que l'aire de $ABCDEF$ est égale à
259,8~m$^2$.
\par La hauteur $SO$ de cette pyramide mesure 4~m.
\[\includegraphics{etrangersnice2006.5}\]
\begin{myenumerate}
  \item Calculer le volume de cette pyramide. On donnera la réponse en m$^3$.
  \item Calculer $SA$.
  \item Calculer le volume d'une maquette à l'échelle $\dfrac1{20}$ de
    cette pyramide. On choisira une unité appropriée pour donner la réponse.
\end{myenumerate}