%@metapost:BNC2008.mp %@Titre:Nouvelle Calédonie -- 2008 \noindent \textbf{Partie I}\\ Voici un tableau de proportionnalit\'e donnant la vitesse exprim\'ee en n{\oe}uds et la vitesse exprim\'ee en m\`etres par seconde correspondante.\\ \medskip \noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Vitesse mesur\'ee en n{\oe}uds& \ldots &1,028&1,285&1,542\\ \hline Vitesse mesur\'ee en m/s&1&2&\ldots &3\\ \hline \end{tabularx} \medskip \noindent Recopier et compl\'eter ce tableau sur votre copie. \medskip \noindent \textbf{Partie II}\\ Une barque traverse une rivi\`ere en partant d'un point $A$ d'une rive pour arriver en un point $B$ sur l'autre rive.\\ \compo{2}{BNC2008}{1}{On suppose que :\\ $ABC$ est rectangle en $C$.\\ $\widehat{BAC}=\alpha$.}\\ \bigskip \noindent La travers\'ee de $A$ vers $B$ s'effectue \`a la vitesse constante de 1,542 n{\oe}uds et dure 50 secondes. \begin{myenumerate} \item Exprimer cette vitesse en m/s. \item Montrer que la distance parcourue $AB$ est de $150$~m. \item Sachant que $\alpha = 60$\degres, calculer la largeur $AC$ de la rivi\`ere. \end{myenumerate} \medskip \noindent \textbf{Partie III}\\ Les points $A$ et $B$ sont distants de $150$~m\`etres.\\ \textbf{Au m\^eme moment :} \begin{itemize} \item[\textbullet] un nageur part de $A$ et se dirige vers $B$, \`a vitesse constante de 1~m/s. \item[\textbullet] une pirogue part de $B$ et se dirige vers $A$, \`a la vitesse constante de $1,028$~noeuds. \end{itemize} \begin{myenumerate} \item \begin{enumerate} \item \`A quelle distance du point $A$ se trouve le nageur 50 s apr\`es son d\'epart ? \item \`A quelle distance du point $A$ se trouve la pirogue 50 s apr\`es son d\'epart ? \end{enumerate} \item On consid\`ere les fonctions $n$ et $p$ d\'efinies par : $n(x) = 1\cdot x$ et $p(x) = 150 - 2x$ ;\\ $n(x)$ est la distance (en m) s\'eparant le nageur du point $A$ en fonction du temps $x$ (en s) ;\\ $p(x)$ est la distance (en m) s\'eparant la pirogue du point $A$ en fonction du temps $x$ (en s). \begin{enumerate} \item Repr\'esenter graphiquement les fonctions $n$ et $p$, sur une feuille de papier millim\'etr\'e, dans un m\^eme rep\`ere orthogonal, tel que : 1~cm repr\'esente 10~s sur l'axe des abscisses, 1~cm repr\'esente 10~m sur l'axe des ordonn\'ees.\\ (On placera l'origine $O$ du rep\`ere en bas et \`a gauche de la feuille) \item D\'eterminer, graphiquement, l'instant o\`u le nageur et la pirogue vont se croiser. (\emph{On laissera apparents les traits de construction}) \end{enumerate} \end{myenumerate} \medskip \noindent \textbf{Formulaire :} Si $v$ d\'esigne la vitesse moyenne, $d$ la distance parcourue et $t$ la dur\'ee de parcours, alors :\\ \[ v = \frac{d}{t}\quad ;\quad d = v \times t \quad ; \quad t = \frac{d}{v}.\]