exo40.tex

%@metapost:4trireccercleexo40.mp
On a émis une conjecture en cours : 
  \begin{quote}
    Il {\em semble} que le centre du cercle circonscrit à un triangle
    rectangle soit le milieu de l'hypoténuse de ce triangle rectangle.
  \end{quote}
\compo{1}{4trireccercleexo40}{1}{%
La démonstration (ou preuve) de cette conjecture se base sur la figure
ci-contre dans laquelle $O$ est le milieu du segment $[BC]$ et $D$ le
symétrique de $A$ par rapport à $O$.}
\par\`A toi d'écrire cette démonstration. Pour cela, on utilise {\em toutes}
les phrases suivantes, qui sont dans le désordre.
\begin{itemize}
\item[\ding{172}] Comme les diagonales du quadrilatère $ABDC$ ont le
  même milieu alors $ABDC$ est un parallélogramme.
\item[\ding{173}] $O$ est donc le centre du cercle circonscrit au
  rectangle $ABDC$ et également au triangle $ABC$ rectangle en $A$.
\item[\ding{174}] Comme le parallélogramme $ABDC$ possède un angle
  droit alors $ABDC$ est un rectangle.
\item[\ding{175}] De plus, on sait que $\widehat{BAC}=90$\degres.
\item[\ding{176}] $O$ est également le milieu du segment $[BC]$.
\item[\ding{177}] Comme $D$ est le symétrique de $A$ par rapport à $O$
  alors $O$ est le milieu du segment $[AD]$.
\end{itemize}