Composition d’un jeu avec \(p+1\) symboles par carte (\(p=7\) pour le cas qui nous intéresse), \(p\) étant un nombre premier.

Ingrédients : \(1+p+p^2\) symboles distincts deux à deux, répartis de la façon suivante:

• 1 symbole \(a\),

• \(p\) symboles \(b_i\) avec \(0\leqslant i\leqslant p-1\),

• \(p^2\) symboles \(c_{i,j}\) avec \(0\leqslant i,j\leqslant p-1\).

Ce qui précède n’est qu’une façon de ranger les symboles pour mieux les redistribuer ensuite, ils ne sont pas de natures différentes.

Les cartes : on peut en obtenir jusqu’à \(1+p+p^2\), autant qu’il y a de symboles...

• 1 carte \(A=\{a, b_0, \dots b_{p-1}\}\),

• \(p\) cartes \(B_i\) (\(0\leqslant i\leqslant p-1\)) telles que

  \[B_i=\{a,c_{i,0},\dots,c_{i,p-1}\},\]

• \(p^2\) cartes \(C_{i,j}\) (\(0\leqslant i,j\leqslant p-1\)) telles que:

  \[C_{i,j}=\{b_i,c_{o,j},c_{1,i+j},c_{2,i+2j},\dots,c_{p-1,(p-1)i+j}\},\]
  l’indexation est à considérer dans \(\mathbb{Z}_p\).

Questions en suspens :

1. Si \(p=7\) alors \(p^2+p+1=57\), pourquoi le jeu se limite-t-il à \(55\) cartes ? (Une explication est avancée dans les commentaires sur l’article Dobble et la géométrie finie.)

2. Si \(p\) n’est pas premier (utilisé pour démontrer que les cartes \(C_{i,j}\) ont un symbole et un seul en commun), le problème a-t-il une solution ? Si oui, laquelle ?