\documentclass[11pt]{article} \usepackage[a4paper]{geometry} \geometry{ hmargin=3cm, vmargin=3cm } \usepackage[applemac]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{calc} \usepackage{lmodern} %\usepackage{utopia} %\renewcommand{\familydefault}{lmss} \usepackage{tabularx} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\texteuro{}} \usepackage{graphics,graphicx} %\usepackage{pst-plot,pst-text,pstcol} \usepackage[]{fancyhdr} \pagestyle{fancy} \lhead{Terminale S} \chead{} \rhead{\thepage} \lfoot{} \cfoot{Baccalauréat Septembre 2003} \rfoot{} \renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[frenchpro]{babel} \begin{document} \begin{center} \doublebox{ \Large{ \textbf{BACCALAURÉAT série S septembre 2003}}} \end{center} \vspace{0,9cm} \subsection*{Exercice 1 (5 points) Commun à tous les candidats} Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(\text{O}\,;\,\overrightarrow{u},\,\overrightarrow{v}\right)$. \noindent On considère les points A et $\Omega$ d'affixes respectives : \begin{displaymath} a = -1 + \sqrt{3} + i \quad \text{ et } \quad \omega = - 1 + 2i. \end{displaymath} \noindent On appelle $r$ la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$ et $h$ l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $- \dfrac{1}{2}$. \begin{order} \item Placer sur une figure les points A et $\Omega$, l'image B du point A par $r$, l'image C du point B par $r$ et l'image D du point A par $h$. \item On note $b,~ c$ et $d$ les affixes respectives des points B, C et D. \noindent Le tableau ci-dessous contient une suite de 18 affirmations, dont chacune débute dans la première colonne et s'achève sur la même ligne colonne 2, colonne 3 ou colonne 4. \noindent Le candidat doit se prononcer sur chacune de ces affirmations. Pour cela il doit remplir le tableau de la feuille annexe, en faisant figurer dans chacune des cases la mention VRAI ou FAUX (en toutes lettres). \vspace{0,3cm} %\renewcommand{\arraystretch}{1.5} \[\begin{array}{ l|c | c | c | c |}\cline{2-5} &&&&\\[-4mm] 1) & |a - \omega | = & 2 & 4 & \sqrt{3} - i \\[0.5mm] \cline{2-5} &&&&\\[-4mm] 2) & \text{arg} (a - \omega)= & - \dfrac{5\pi}{6} & \dfrac{47\pi}{6} & \dfrac{\pi}{6}\\[2mm] \cline{2-5} \end{array}\] \vspace{0,3cm} \[\begin{array}{l|c | c | c | c |}\cline{2-5} &&&&\\[-4mm] 3) & \left(\overrightarrow{v},~\overrightarrow{\Omega \text{C}}\right) = & \text{arg}(\omega - i) & - \left(\overrightarrow{v},~\overrightarrow{\text{C}\Omega}\right) & \dfrac{2\pi}{3} \\[2mm] \cline{2-5} &&&&\\[-4mm] 4) &\omega = & \dfrac{1}{3}(a + b + c) & a + b + c& b - 2i \\[2mm] \cline{2-5} \end{array}\] \end{order} \vspace{0,3cm} \[\begin{array}{l|c | c | c | c |}\cline{2-5} &&&&\\[-4mm] 5) & \dfrac{b - d}{a - d} = & \dfrac{\sqrt{3}}{2}i & - \dfrac{\sqrt{3}}{3}i & \dfrac{\sqrt{3}}{3}i \\[2mm] \cline{2-5} &&&&\\[-4mm] & & \text{l'image de }~ \Omega~ \text{par }& \text{l'image de }~ \Omega~\text{par} & \text{l'image de }~ \Omega~\text{par la} \\ 6) & \text{Le point D est} &\text{la translation} & \text{l'homothétie de centre } & \text{la rotation de centre}\\ & & \text{de vecteur}~ \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{A}\Omega}& \text{A et de rapport } \dfrac{3}{2} & \text{B et d'angle} - \dfrac{\pi}{6}\\[2mm] \cline{2-5} \end{array}\] \vspace{3cm} \begin{english}\begin{flushright} Tournez la page S.V.P.\end{flushright}\end{english} \newpage \subsection*{Exercice 2 (5 points) Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} Un commerce possède un rayon << journaux >> et un rayon << souvenirs >>. A la fin d'une journée, on trie les pièces de monnaie contenues dans les caisses de chaque rayon. On constate que la caisse du rayon << journaux >> contient 3 fois plus de pièces de 1 \euro~ que celle du rayon << souvenirs >>. Les pièces ont toutes le côté pile identique, mais le côté face differe et symbolise un des pays utilisant la monnaie unique. Ainsi, 40\ \% des pièces de 1 \euro~ dans la caisse du rayon << souvenirs >> et 8\ \% de celle du rayon << journaux >> portent une face symbolisant un pays autre que la France (on dira << face étrangère >>). \begin{order} \item Le propriétaire du magasin, collectionneur de monnaies, recherche les pièces portant une face étrangère. Pour cela il prélève au hasard et avec remise 20 pièces issues de la caisse << souvenirs >>. On note X la variable aléatoire qui associe à chaque prélèvement le nombre de pièces portant une face << étrangère >>. \begin{enumerate} \item [\textbf{a)}] Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale ; déterminer les paramètres de cette loi. \item [\textbf{b)}] Calculer la probabilité qu'exactement 5 pièces parmi les 20 portent une face étrangère. \item [\textbf{c)}] Calculer la probabilité qu'au moins 2 pièces parmi les 20 portent une face étrangère. \end{enumerate} \item Les pièces de 1~? issues des deux caisses sont maintenant rassemblées dans un sac. \noindent On prélève au hasard une pièce du sac. \noindent On note S l'évènement << la pièce provient de la caisse souvenirs >> et E l'évènement << la pièce porte une face étrangère >>. \begin{enumerate} \item [\textbf{a)}] Déterminer P(S), P$_{\text{S}}$(E) ; en déduire P(S $\cap$ E). \item [\textbf{b)}] Démontrer que la probabilité que la pièce porte une face étrangère est égale à 0,16. \item [\textbf{c)}] Sachant que cette pièce porte une face étrangère, déterminer la probabilité qu'elle provienne de la caisse << souvenirs >>. \end{enumerate} \item Dans la suite, la probabilité qu'une pièce choisie au hasard dans le sac porte une face étrangère est égale à 0,16. \noindent Le collectionneur prélève $n$ pièces ($n$ entier supérieur ou égal à 2) du sac au hasard et avec remise. \noindent Calculer $n$ pour que la probabilité qu'il obtienne au moins une pièce portant une face étrangère soit supérieure ou égale à 0,9. \end{order} \vspace{5cm} \begin{english}\begin{flushright} Tournez la page S.V.P.\end{flushright}\end{english} \newpage \subsection*{Exercice 2 (5 points) Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \noindent On rappelle que 2003 est un nombre premier. \begin{order} \item \begin{enumerate} \item [\textbf{a)}]Déterminer deux entiers relatifs u et y tels que : \[123 u + 2003 v = 1.\] \item [\textbf{b)}] En déduire un entier relatif $k_0$ tel que : \[123k_0 \equiv 1\ \ [2003].\] \item [\textbf{c)}] Montrer que, pour tout entier relatif $x$, \[123 x \equiv 456\ \ [2003] \text{ si et seulement si}~ x \equiv 456 k_0\ \ [2003].\] \item [\textbf{d)}] Determiner l'ensemble des entiers relatifs $x$ tels que : \[123x \equiv 456\ \ [2003].\] \item [\textbf{e)}] Montrer qu'il existe un unique entier $n$ tel que : \[1 \leqslant n \leqslant 2002\ \ \text{et}\ \ 123n \equiv 456\ \ [2003].\] \end{enumerate} \item Soit $a$ un entier tel que : $1 \leqslant a \leqslant 2002$. \begin{enumerate} \item [\textbf{a)}] Déterminer : \[ \text{PGCD}(a,~ 2003).\] En déduire qu'il existe un entier $m$ tel que : \[am \equiv 1\ \ [2003].\] \item [\textbf{b)}] Montrer que, pour tout entier $b$, il existe un unique entier $x$ tel que : \[ 0 \leqslant x \leqslant 2002\ \ \text{et}\ \ ax \equiv b\ \ [2003].\] \end{enumerate} \end{order} \vspace{7cm} \begin{english}\begin{flushright} Tournez la page S.V.P.\end{flushright}\end{english} \newpage \subsection*{Problème (10 points) Commun à tous les candidats} \subsubsection*{Partie A : Une équation différentielle} On considère l'équation différentielle : \[ \text{(E) }\quad y'-3y = \dfrac{- 3\text{e}}{\left(1 + \text{e}^{-3x} \right)^2}.\] On donne une fonction $\varphi$ dérivable sur $\R$ et la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \begin{displaymath} f(x) = \text{e}^{-3x}\varphi (x). \end{displaymath} \begin{order} \item Montrer que $f$ est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$, exprimer $\varphi'(x) - 3 \varphi(x)$ en fonction de $f'(x)$. \item Déterminer $f$ de sorte que $\varphi$ soit solution de (E) sur $\R$ et vérifie $\varphi (0) = \dfrac{\text{e}}{2}$. \end{order} \subsubsection*{Partie B : Étude d'une fonction} Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[f(x)= \dfrac{\text{e}^{1 - 3x}}{1 + \text{e}^{-3x}}.\] On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal d'unité graphique 2 cm. \begin{order} \item Déterminer les limites de $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$, puis étudier les variations de $f$. \item Tracer $\mathcal{C}$. \item Pour $\alpha$ réel non nul, on pose $I_{\alpha} = \displaystyle\int^{\alpha}_{0} f(x) \: \text{d}x$. \begin{enumerate} \item [\textbf{a)}]Donner le signe et une interprétation graphique de $I_{\alpha}$ en fonction de $\alpha$. \item [\textbf{b)}] Exprimer $I_{\alpha}$ en fonction de $\alpha$. \item [\textbf{c)}] Déterminer la limite de $I_{\alpha}$ lorsque $\alpha$ tend vers $+ \infty$. \end{enumerate} \end{order} \subsubsection*{Partie C : Étude d'une suite} On définit sur $\N^*$ la suite $\left(u_{n}\right)$ par : \[u_{n} = \displaystyle\int ^1_{0} f(x)\text{e}^{\frac{x}{n}}\: \text{d}x,~ \text{où}\: f \: \text{est la fonction définie dans la \textbf{partie B}}.\] \noindent On ne cherchera pas à calculer $u_{n}$. \begin{order} \item \begin{enumerate} \item [\textbf{a)}] Donner, pour tout $n$ de $\N^*$, le signe de $u_{n}$. \item [\textbf{b)}] Donner le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. \item [\textbf{c)}] La suite $\left(u_{n}\right)$ est-elle convergente ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item [\textbf{a)}]Montrer que pour tout $n$ de $\N^*$ : \[I_{1} \leqslant u_{n} \leqslant \text{e}^{\frac{1}{n}}I_{1}\] où I$_{1}$ est l'intégrale de la \textbf{partie B} obtenue pour $\alpha$ égal à 1. \item [\textbf{b)}] En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. Donner sa valeur exacte. \end{enumerate} \end{order}. \noindent %\footnote{France métropolitaine série S septembre 2003} \end{document}