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Source de arithmetique_de_K_de_X.tex

Fichier TeX
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\notefalse

\begin{document}
\leftline{\bfseries Département de Mathématiques et Informatique \hfill Année~1999-2000}

\noindent \hrulefill

\leftline{I.U.P. N.T.I.E. \hfill Analyse -- Algèbre -- Arithmétique -- Probabilités}

\centerline{\bfseries \large Compléments de cours sur l'arithmétique de~$\RR[X]$ et~$\CC[X]$}

\noindent \hrulefill

Voici le complément de cours promis destiné à résumer les résultats abordés dans les exercices~$13$
et~$14$ de la première feuille de T.D.

Dans tout ce qui suit,~$K = \RR$ ou~$\CC$ et on s'intéresse à l'arithmétique de
l'anneau~$K[X]$.

\vspace{1em}

Comme pour l'anneau des entiers~$\ZZ$ tout repose sur le fait que~$K[X]$ est muni d'une division
euclidienne, le rôle de la valeur absolue des entiers étant tenu par la fonction degré~:
si~$F \in \RR[X]$ s'écrit~:
$$
F(X) = a_n X^n + \cdots + a_1 X + a_0
\qquad\qquad \text{avec~$a_n \not = 0$},
$$
on dit que~$F$ est de degré~$n$~; l'entier~$n$ s'appelle le degré de~$F$ et on le note~$\deg(F)$.
Il convient de remarquer que~:
$$
\forall F, G \in K[X], \qquad \deg(FG) = \deg(F) + \deg(G)
\quad \text{et} \quad \deg(F + G) \leq \max\{\deg(F), \deg(G)\}
$$

\begin{theo}[Division Euclidienne]
\'Etant donnés deux polynômes~$(F, G) \in K[X] \times K[X] \setminus \{0\}$, il existe un
couple~$(Q, R) \in \RR[X] \times \RR[X]$ tel que~:
$$
F = GQ + R
\qquad\qquad
\text{avec~:} \quad \deg(R) < \deg(G)
$$
De plus, ce couple est unique.
\end{theo}

Exactement comme nous avons fait découler une théorie de la divisibilité dans~$\ZZ$ de la division
euclidienne, il est possible d'étudier la divisibilité de~$K[X]$ gr’ce à la division euclidienne
précédente. Dès lors, on peut introduire les notions de~$\pgcd$ et de~$\ppcm$ de deux et
plusieurs polynômes. L'algorithme d'Euclide fonctionne de nouveau etc... Un excellent exercice
consiste à reprendre le cours sur les entiers et de l'adapter à l'anneau des
polynômes\footnote{\`A mon avis, l'un des moyens les plus efficaces pour apprendre et comprendre
le cours sur l'arithmétique de~$\ZZ$ consiste à rédiger celui qui correspond pour les polynômes. Je
vous conseille vivement de l'écrire et de me poser toutes les questions que vous voulez sur les
éventuels points obscurs qui demeurent.}. La seule différence intervient à la fin du cours quand
les nombres premiers de~$\ZZ$ sont introduits. En effet dans le cadre des polynômes, il est
possible de caractériser les polynômes premiers qui traditionnellement sont plutôt qualifiés
{\bfseries d'irréductibles}.

\begin{defi}
Un polynôme~$F \in K[X]$ est dit {\bfseries inversible} dans~$K[X]$ s'il existe~$G \in K[X]$ tel
que~$FG = 1$.

Un polynôme~$F \in K[X]$ est dit {\bfseries irréductible} dans~$K[X]$ si et seulement s'il est non
nul non inversible et si~:
$$
F = PQ
\qquad \Longrightarrow \qquad
\text{$P$ ou~$Q$ est inversible dans~$K[X]$}
$$
\end{defi}

Nous avons montré dans l'exercice~$14$ que~:

\begin{prop}
Les inversibles de~$K[X]$ sont les polynômes constants non nuls, à savoir~$K^*$.
\end{prop}

Afin de déterminer les irréductibles de~$\CC[X]$ et~$\RR[X]$, il nous a fallu admettre le
théorème de d'Alembert~:

\begin{theo}[de d'Alembert]
Tout polynôme non constant de~$\CC[X]$ admet une racine
dans~$\CC$.
\end{theo}

De ce théorème, on peut déduire (cf. exercice~$14$) les caractérisations suivantes~:

\begin{prop}
Les polynômes irréductibles de~$\CC[X]$ sont les polynômes de degré~$1$, c'est-à-dire de la
forme $aX + b$ où~$(a, b) \in \CC^* \times \CC$.
\end{prop}

\begin{prop}
Les polynômes irréductibles de~$\RR[X]$ sont les polynômes de degré~$1$ ---~c'est-à-dire de la
forme $aX + b$ où~$(a, b) \in \RR^* \times \RR$~--- ou ceux de degré~$2$ sans racines dans~$\RR$
---~c'est-à-dire de la forme~$aX^2 + b X + c$ avec~$(a,b,c) \in \RR^* \times \RR^2$
et~$b^2 - 4ac < 0$~---.
\end{prop}

Enfin, comme dans les entiers, nous avons le résultat fondamental suivant~:

\begin{theo}
Tout polynôme~$F \in K[X]$ admet une décomposition en irréductibles~: il existe~$F_1, \ldots, F_r$
des irréductibles de~$K[X]$ deux-à-deux distincts
et~$\alpha_1, \ldots, \alpha_r$ des entiers naturels non nuls tels que~:
$$
F = F_1^{\alpha_1} \cdots F_r^{\alpha_r}
$$
De plus, cette décomposition est unique à l'ordre près.
\end{theo}

Par conséquent, tout polynôme (non constant) de~$\CC[X]$ est produit de polynômes de degré~$1$
et tout polynôme (non constant) de~$\RR[X]$ est produit de polynômes de degré~$1$ ou~$2$.
\end{document}