\exo{Histoire de changer d'air, mais non de bases~!} Munissons~$\RR^3$ de sa base canonique~$\mathcal{B} = \{e_1, e_2, e_3\}$ ---~avouez que vous êtes en présence d'un début d'exercice original, n'est-ce pas~?~---. Introduisons~$f \in \mathcal{L}(\RR^3)$ dont la matrice dans la base canonique est la suivante~: $$ M = \Mat(f, \mathcal{B}) = \begin{pmatrix}-3&1&4\\0&2&0\\-2&1&3\end{pmatrix} $$ et posons~$\varepsilon_1 = (1,0,1)$, $\varepsilon_2 = (1,1,1)$ et~$\varepsilon_3 = (2,0,1)$. \q Prouver que~$\mathcal{C} = \{\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3\}$ est une base de~$\RR^3$. \q Dresser~$N = \Mat(f, \mathcal{C})$ la matrice de~$f$ dans la base~$\mathcal{C}$. \q Déterminer~$N^n$ pour~$n \geq 1$. \q En déduire l'expression de~$M^n$ pour~$n \geq 1$. \ifwithcorrection \correction \q ok. \q Notons~$P$, la matrices des coordonnées des~$\varepsilon_i$ dans la base~$\mathcal{B}$ alors~: $$ P = \begin{pmatrix}1&1&2\\0&1&0\\1&1&1\end{pmatrix} \qquad \Longrightarrow \qquad P^{-1} = \begin{pmatrix}-1&-1&2\\0&1&0\\1&0&-1\end{pmatrix} $$ Avec ces notations, on a~: $$ N = P^{-1} M P = P = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\&0&-1\end{pmatrix} $$ \q ok. \q On en déduit que~: $$ M^n = P N^n P^{-1} = \begin{pmatrix}1&1&2\\0&1&0\\1&1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0&0\\0&2^n&0\\&0&(-1)^n\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1&-1&2\\0&1&0\\1&0&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(-1)^n - 1 & 2^n -1 & 2(-1)^{n+1} + 2 \\ 0 & 2^n & 0 \\ (-1)^n - 1 & 2^n - 1 & (-1)^{n+1} + 2 \end{pmatrix} $$ ceci quel que soit~$n$. \fi