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Source de chgt_de_bases.tex

Fichier TeX
\exo{Histoire de changer d'air, mais non de bases~!}

Munissons~$\RR^3$ de sa base canonique~$\mathcal{B} = \{e_1, e_2, e_3\}$ ---~avouez que vous
êtes en présence d'un début d'exercice original, n'est-ce pas~?~---.
Introduisons~$f \in \mathcal{L}(\RR^3)$ dont la matrice dans la base canonique est la
suivante~:
$$
M = \Mat(f, \mathcal{B}) =
\begin{pmatrix}-3&1&4\\0&2&0\\-2&1&3\end{pmatrix}
$$
et posons~$\varepsilon_1 = (1,0,1)$, $\varepsilon_2 = (1,1,1)$ et~$\varepsilon_3 = (2,0,1)$.

\q Prouver que~$\mathcal{C} = \{\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3\}$ est une base
de~$\RR^3$.
\q Dresser~$N = \Mat(f, \mathcal{C})$ la matrice de~$f$ dans la base~$\mathcal{C}$.
\q Déterminer~$N^n$ pour~$n \geq 1$.
\q En déduire l'expression de~$M^n$ pour~$n \geq 1$.

\ifwithcorrection \correction

\q ok.
\q Notons~$P$, la matrices des coordonnées des~$\varepsilon_i$ dans la base~$\mathcal{B}$ alors~:
$$
P = \begin{pmatrix}1&1&2\\0&1&0\\1&1&1\end{pmatrix}
\qquad \Longrightarrow \qquad
P^{-1} = \begin{pmatrix}-1&-1&2\\0&1&0\\1&0&-1\end{pmatrix}
$$
Avec ces notations, on a~:
$$
N = P^{-1} M P = P = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\&0&-1\end{pmatrix}
$$
\q ok.
\q On en déduit que~:
$$
M^n = P N^n P^{-1} =
\begin{pmatrix}1&1&2\\0&1&0\\1&1&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2^n&0\\&0&(-1)^n\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}-1&-1&2\\0&1&0\\1&0&-1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
 2(-1)^n - 1 & 2^n -1 & 2(-1)^{n+1} + 2 \\
 0 & 2^n & 0 \\
 (-1)^n - 1 & 2^n - 1 & (-1)^{n+1} + 2
\end{pmatrix}
$$
ceci quel que soit~$n$.
\fi