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Source de un_calcul_de_resultant.tex

Fichier TeX
\exo{Le résultant est le bon résultat (bof~!)}

Soient~$P(X) = X^3 + X + 1$ et~$Q(X) = X^2 + 1$ deux polynômes de~$\CC[X]$ et soit~$\varphi$
l'application linéaire définie par~:
$$
\begin{array}{rccc}
\varphi~: & \CC_2[X] \times \CC_3[X] & \longrightarrow & \CC_5[X] \\
          &             (U,V)          & \longmapsto     & UP + VQ
\end{array}
$$
où pour~$n \geq 1$, la notation~$\CC_n[X]$ désigne l'espace vectoriel des polynômes de degré
{\bfseries strictement} inférieur à~$n$.

\q Dresser la matrice de~$\varphi$ en choisissant~$\mathcal{B} = \{(X,0), (1,0), (0,X^2), (0,X),
(0,1)\}$ comme base au départ et~$\mathcal{C} = \{X^4, X^3, X^2, X, 1\}$ comme base à l'arrivée.

\q Calculer~$\res(P, Q)$ qui, je vous le rappelle, n'est rien d'autre que le déterminant
de~$\varphi$.

\ifwithcorrection \correction

\q La matrice trouvée est~:
$$
\Mat(\varphi, \mathcal{B}, \mathcal{C}) = 
\begin{pmatrix}1&0&1&0&0\\0&1&0&1&0\\1&0&1&0&1\\1&1&0&1&0\\0&1&0&0&1\end{pmatrix}
$$

\q Son déterminant est~$1$.

\fi