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Source de x2_plus_y2_egal_z2.tex

Fichier TeX
\exo{L'équation de Fermat~$x^2 + y^2 = z^2$}

L'objet de cet exercice est de prouver les solutions {\bfseries entières strictement positives} de
l'équation~:
\begin{equation} \label{x2+y2=z2} \tag{E}
x^2 + y^2 = z^2
\end{equation}
sont (à une permutation près de~$x$ et~$y$) de la forme~:
$$
x = d(u^2 - v^2)
\qquad
y = 2duv
\qquad
z= d(u^2 + v^2)
$$
où~$d, u, v$ sont des entiers, les deux derniers étant premiers entre eux.


\q Commencer par vous assurer que les solutions avancées vérifient bien
l'équation~(\ref{x2+y2=z2}).

\q Soit~$d$ le pgcd de~$x, y$ et~$z$. Montrer que les entiers~$x/d$, $y/d$ et~$z/d$ sont encore
solution de~(\ref{x2+y2=z2}).

\vspace{0.5em}

{\sl \noindent \`A partir de maintenant on suppose que~$x, y$ et~$z$ sont premiers dans leur
ensemble.}

\vspace{0.5em}

\q Montrer qu'ils le sont nécessairement deux-à-deux.
\q En déduire que deux d'entre eux sont impairs et que le troisième est nécessairement pair.

\q Montrer que~$x$ et~$y$ sont de parité distincte en procédant ainsi~:
\subq Vérifier que le carré d'un nombre impair est toujours congru à~$1$ modulo~$4$ et que celui
d'un nombre pair est toujours congru à zéro modulo~$4$.
\subq En raisonnant par l'absurde, c'est-à-dire en supposant que~$x$ et~$y$ sont tous deux impairs,
aboutir à une contradiction.
\subq Conclure.

\vspace{0.5em}

{\sl \noindent \`A partir de maintenant on suppose que~$x$ impair, $y$ pair et donc~$z$ impair}.

\vspace{0.5em}

On écrit l'équation~(\ref{x2+y2=z2}) sous la forme suivante~:
$$
y^2 = z^2 - x^2 = (z-x)(z+x)
$$

\q En remarquant que~$2x = (z+x) - (z-x)$ et que~$2z = (z+x) + (z-x)$ montrer
que~$\pgcd(z+x, z-x) = 2$.

\vspace{0.5em}

On peut donc introduire~$x', y', z' \in \ZZ$ tels que~$y = 2y'$, $z+x = 2x'$ et~$z-x = 2z'$ si
bien que~${y'}^2 = x' z'$.

\q Pourquoi les entiers~$x'$ et~$z'$ sont-ils premiers entre eux~? En déduire que~$x'$
et~$z'$ sont nécessairement des carrés (indication~: utiliser l'égalité~${y'}^2 = x' z')$.

\q En récapitulant ce que vous avez montré, vous devez être en mesure de conclure.

\ifwithcorrection \correction

\q C'est une simple vérification. En particulier, on en déduit l'existence de solutions comme
souhaitées.

\vspace{1em}

\`A partir de maintenant~$(x,y,z) \in \NN^3$ désigne un triplet de solutions
de~(\ref{x2+y2=z2}) et on va montrer que néces\-saire\-ment ce triplet se met sous la forme annoncée
en en-tête.

\vspace{0.5em}

\q Tout d'abord, si~$d = \pgcd(x,y,z)$, alors~$d^2$ divise chacun des carrés~$x^2$,~$y^2$
et~$z^2$~; on peut donc diviser par~$d^2$ l'égalité~(\ref{x2+y2=z2}) tout en restant
dans~$\ZZ$~:~$\frac{x^2}{d^2} + \frac{y^2}{d^2} = \frac{z^2}{d^2}$,
ce qui permet de dire que le triplet~$(x/d, y/d, z/d)$ est encore solution de~(\ref{x2+y2=z2}).

\q On suppose que les entiers~$x,y,z$ sont premiers entre eux dans leur ensemble et on veut
prouver qu'ils le sont nécessairement deux-à-deux. Raisonnons par l'absurde en supposant que deux
d'entre eux ne sont pas premiers entre eux~; alors ils sont divisibles par un premier~$p$. Mais
alors le carré du troisième qui est égal à la somme ou à la différence des carrés des deux
premiers ---~car le triplet~$(x,y,z)$ est solution de~(\ref{x2+y2=z2})~--- est lui aussi divisible
par~$p$. Comme~$p$ est premier,~$p$ divise le carré du troisième entraîne que~$p$ divise ce dit
troisième. Cela contredit le fait que~$x,y$ et~$z$ sont premiers entre eux dans leur
ensemble. Nécessairement ils sont donc premiers entre eux deux-à-deux.

\q Les entiers~$x$,~$y$ et~$z$ étant premiers deux-à-deux, au plus un d'entre eux est pair~;
autrement dit, au moins deux d'entre eux sont impairs. En particulier, le carré d'au moins deux
d'entre eux est impair (car le carré d'un nombre impair est lui même impair). Isolons ces deux
carrés impairs, alors le troisième carré qui est égal à la somme ou à la différence des deux
carrés impairs est nécessairement pair. Au moins un des carré est donc pair d'où il découle qu'au
moins un des entiers~$x$,~$y$ ou~$z$ est lui même pair. En bref, parmi les entiers~$x$,~$y$
et~$z$ il y en a deux impairs et un pair.

\q Montrons que~$x$ et~$y$ sont de parité distincte.
\subq Un nombre impair s'écrit~$2k+1$~; son carré est donc égal à~$4k^2 + 4k + 1$ qui est bien
un entier congru à~$1$ modulo~$4$. Quant à un nombre pair, il s'écrit~$2k$ donc son carré,
qui vaut~$4k^2$, est bien congru à zéro modulo~$4$.
\subq Si~$x$ et~$y$ sont tous deux impairs, alors~$x^2 \equiv 1 \pmod{4}$
et~$y^2 \equiv 1 \pmod{4}$ donc~$x^2 + y^2 \equiv 2 \pmod{4}$. Comme~$z^2 = x^2 + y^2$, on en
déduit que~$z^2 \equiv 2 \pmod{4}$. Ceci est contradictoire puisque nous venons de montrer que le
carré d'un entier est congru soit à~$0$ soit à~$1$ modulo~$4$.
\subq L'hypothèse faite au début de la question précédente est donc fausse~: les entiers~$x$
et~$y$ sont bien de parité distincte.

\q On suppose que~$x$ est impair et que~$y$ est pair. Montrons que~$\pgcd(z+x, z-x) = 2$. Tout
d'abord, les entiers~$x$ et~$z$ étant tous les deux impairs,~$2$ divise bien~$z+x$ et~$z-x$
donc~$2$ divise~$\pgcd(z+x, z-x)$. De plus, compte tenu des égalités~$2x = (z+x) - (z-x)$
et~$2z = (z+x) + (z-x)$ tout diviseur commun à~$z+x$ et~$z-x$ est un diviseur commun à~$2x$
et~$2z$. Mais~$x$ et~$z$ étant premiers entre eux, on a~$\pgcd(2x, 2z) = 2$. En
conséquence,~$\pgcd(z+x, z-x)$ divise~$2$. Cela montre que~$\pgcd(z+x, z-x) = 2$.

\q Comme~$z+x = 2x'$ et~$z-x = 2z'$ et comme~$\pgcd(z+x, z-x) = 2$, nécessairement~$x'$ et~$z'$
sont premiers entre eux.

Introduisons~$p_1^{\alpha_1} \cdots p_r^{\alpha_r}$
et~$q_1^{\beta_1} \cdots q_s^{\beta_s}$ les décompositions primaires respectives de~$x'$ et~$z'$.
Comme~$x'$ et~$z'$ sont premiers entre eux, les premiers~$p_i$ et~$q_j$ sont deux-à-deux
distincts. Par conséquent, la décomposition primaire de~${y'}^2 = x' z'$ est la suivante~:
$$
p_1^{\alpha_1} \cdots p_r^{\alpha_r} q_1^{\beta_1} \cdots q_s^{\beta_s}
$$
Comme~${y'}^2$ est un carré, nécessairement les exposants~$\alpha_i$ et~$\beta_j$ sont tous pairs,
ce qui montre que~$x'$ et~$z'$ sont tous deux des carrés.

\q Simple récapitulatif.
\fi