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Source de cauchy.tex

Fichier TeX
\exo{Le thérème de Cauchy}

Il s'agit de prouver le théorème de Cauchy dont voici l'énoncé~: {\em un groupe fini~$G$
d'ordre~$pq$, avec~$p$ premier, contient un élément d'ordre~$p$}.

Pour cela, on introduit~$X$ le sous-ensemble de~$G^p$ constitué des $p$-uplets suivants~:
$$
X = \{(g_1, \ldots, g_p) \in G^p, \; g_1 \cdots g_p = 1\}
$$

\q On commence par dénombrer~$X$.
\subq Pourquoi~$X$ est-il non vide~?
\subq Montrer que l'application~$X \rightarrow G^{p-1}$ qui au $p$-uplet~$(g_1, \ldots, g_p) \in X$
associe le $(p-1)$-uplet~$(g_1, \ldots, g_{p-1})$ est une bijection.
\subq En déduire le cardinal de~$X$ (rappel~: le cardinal de~$E^r$ avec~$E$ fini de cardinal~$n$,
est égal à~$n^r$).

\q Vérifier l'équivalence entre les deux propriétés suivantes~: (i)~:~$G$ possède un élément
d'ordre~$p$ et (ii)~:~$X$ contient un élément dont toutes les coordonnées sont égales et
distinctes de~$1$.

\q On introduit~$c$ le $p$-cycle~$(1, \ldots, p)$ et pour~$(g_1, \ldots, g_p) \in G^p$, on pose~:
$$
c . (g_1, \ldots, g_p) = (g_{c(1)}, \ldots, g_{c(p)}) = (g_p, g_2, g_3, \ldots, g_{p-1}, g_1)
$$
Sur le même principe, pour~$0 \leq i \leq p-1$, on définit~$c^i . (g_1, \ldots, g_p)$.

\subq Si~$\mathbb{g} \in X$, vérifier que~$c . \mathbb{g} \in X$. Montrer que l'on a la même
propriété en remplaçant~$c$ par une de ses puissances.

\q Soient~$Y$ et~$Z$ les deux sous-ensembles de~$X$ définis par~:
$$
Y = \{(g_1, \ldots, g_p) \in X, \; g_1 = \cdots = g_p\}
\qquad
Z = \{(g_1, \ldots, g_p) \in X, \; (\exists \, i \not= j, \; g_i \not= g_j)\}
$$
Bien sšr,~$X$ est la réunion disjointe de~$Y$ et~$Z$.

\subq En permutant les coordonnées, montrer qu'un quelconque élément~$(g_1, \ldots, g_p) \in  Z$
permet d'en construire $(p-1)$~autres.
\subq \`A l'aide de la question précédente, prouver que le cardinal de~$Z$ est divisible par~$p$.
\subq En déduire le cardinal de~$Y$ est lui aussi divisible par~$p$.
\subq Conclure.