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Source de determinant_de_Gram.tex

Fichier TeX
\exo{Déterminant de Gram et distance d'un point à un sous-espace}

\newcommand{\Gram}{\operatorname{Gram}}

Le déterminant de Gram d'une famille~$v_1, \ldots, v_n$ de vecteurs d'un espace euclidien~$E$
de dimension finie est noté~$\Gram(v_1, \ldots, v_n)$ et est défini par~:
$$
\Gram(v_1, \ldots, v_n) = \det(\ideng{v_i, v_j}_{i,j})
$$

\q Montrer que~$\Gram(v_1, \ldots, v_n)$ est nul si et seulement si la
famille~$\{v_1, \ldots, v_n\}$ est liée.

\q Soit~$F$ un sous-espace vectoriel de~$E$ et~$\{f_1, \ldots, f_m\}$ une base (quelconque) de~$F$.
On décompose tout~$v \in E$ sous la forme~$v = v' + v''$ avec~$v' \in F$ et~$v'' \in F^\perp$.
Montrer que~:
$$
\Gram(v, f_1, \ldots, f_m) = \|v''\|^2 \Gram(f_1, \ldots, f_m)
$$
et en déduire que~:
$$
d(v, F)^2 = \frac{\Gram(v, f_1, \ldots, f_m)}{\Gram(f_1, \ldots, f_m)}
$$
où~$d(v, F)$ désigne la distance de~$v$ à~$F$.

\ifwithcorrection \correction
\q Si~$\Gram(v_1, \ldots, v_n) = 0$ alors il existe des réels~$\lambda_1, \ldots, \lambda_n$
non tous nuls tels que~:
$$
(\ideng{v_i, v_j}_{i,j}) \begin{pmatrix}\lambda_1\\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}\ideng{v_1, \lambda_1 v_1 + \cdots \lambda_n v_n} \\
                 \vdots \\
                 \ideng{v_n, \lambda_1 v_1 + \cdots \lambda_n v_n} \\
  \end{pmatrix}
= 0
$$
Par conséquent, la combinaison linéaire~$\lambda_1 v_1 + \cdots \lambda_n v_n$ appartient
au sous-espace~$\Vect(v_i)$ et à son orthogonal~$\Vect(v_i)^\perp$~; cette combinaison linéaire
est donc nulle ce qui montre que la famille~$\{v_1, \ldots, v_n\}$ est liée. Réciproquement,
si l'on dispose d'une combinaison linéaire~$\lambda_1 v_1 + \cdots \lambda_n v_n$ nulle et non
triviale alors il existe~$i$ tel que~$\lambda_i \not= 0$. Il suffit, pour conclure, d'opérer les
deux combinaisons linéaires suivantes sur les colonnes de la matrice~$(\ideng{v_i, v_j}_{i,j})$~:
$$
C_i \leftarrow \lambda_i C_i
\qquad \text{puis} \qquad
C_i \leftarrow C_i + \sum_{j \not=i} \lambda_j C_j
$$
La $i$-ème colonne de le nouvelle matrice est nulle ce qui force son déterminant à l'être
aussi~; comme ce dernier n'est rien d'autre que~$\lambda_i^n \Gram(v_1, \ldots, v_n)$,
on en déduit bien la nullité de~$\Gram(v_1, \ldots, v_n)$.

\q Par définition de~$v'$ et~$v''$, on
a~$\ideng{v,v} = \ideng{v',v'} + \ideng{v'',v''} = \|v'\|^2 + \|v''\|^2$
et~$\ideng{v, f_i} = \ideng{v', f_i}$ pour tout~$i$. Dans la matrice
définissant~$\Gram(x, f_1, \ldots, f_m)$ l'opération~:
$C_1 \leftarrow C_1 + \sum_i \lambda_i C_{i+1}$ permet de remplacer le premier terme~$\ideng{v,v}$
par~$\ideng{v'',v''}$ et de tuer tous les premiers termes des $m$ dernières lignes.
Il suffit alors pour conclure de développer par rapport à le première colonne.
\fi