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Source de int_fg.tex

Fichier TeX
\exo{Calculs de minimum}

Considérons~$\mathcal{C}([0,1], \RR)$, l'espace des fonctions continues de~$[0,1]$ vers~$\RR$,
muni du produit scalaire~:
$$
\ideng{f,g} = \int_0^1 f(t)g(t) dt
$$

\q Soit~$F$ le sous-espace de~$\mathcal{C}([0,1], \RR)$ constitué des applications affines,
c'est-à-dire~$F = \{t \mapsto at + b, \; (a,b) \in \RR^2\}$~; il s'agit de déterminer la
valeur~$\min_{(a,b) \in \RR^2} \left\{ \int_0^1 (t^2 - at - b)^2 dt \right\}$.
\subq Lier le minimum cherché à la distance d'un élément de~$\mathcal{C}([0,1], \RR)$ à~$F$.
\subq Calculer une base orthonormée de~$F$.
\subq Calculer~$\pi_F(t^2)$ le projeté orthogonal de la fonction~$t \mapsto t^2$ sur~$F$.
\subq Conclure.

\q Reprendre les questions précédentes, {\sl la dernière étant hors barême}, afin de déterminer la
valeur~$\min_{(a,b,c) \in \RR^3} \left\{ \int_{0}^1 (t^3 - a t^2 - bt - c)^2 dt \right\}$.
(penser à ré-investir vos calculs antérieurs).

\ifwithcorrection \correction

\q Il s'agit de déterminer~$\min_{(a,b) \in \RR^3}
\left\{ \int_{0}^1 (t^2 - at - b)^2 dt \right\}$.

\subq Ce minimum n'est rien d'autre que~$d(t^2, F)^2$ le carré de la distance de la
fonction~$t \mapsto t^2$ au sous-espace~$F$. De plus, on sait
que~$d(t^2, F) = \|t^2 - \pi_F(t^2)\|$,
où~$\pi_F(t^2)$ désigne le projeté orthogonal de la fonction~$t \mapsto t^2$ sur~$F$.

\subq Afin de calculer cette distance, on commence par déterminer, via le procédé
d'orthognalisation de Schmidt, une base orthonormée de~$F$. Cela en passe par le calcul des
quantités~:
$$
\|1\| = 1
\qquad
\|t\| = \frac{1}{\sqrt{3}}
\qquad
\ideng{1,t} = \frac{1}{2}
\qquad
\left\|t - \frac{1}{2}\right\| = \frac{1}{2\sqrt{3}}
$$
Posons~$\varepsilon_1 = 1$ et~$\varepsilon_2 = \sqrt{3}(2t - 1)$ alors la
famille~$\{\varepsilon_1, \varepsilon_2\}$ est une base orthonormée de~$F$.

\subq On en déduit~$\pi_F(t^2)$ le projeté orthogonal de~$t^2$ sur~$F$~:
$$
\pi_F(t^2) = \ideng{\varepsilon_1, t^2} \varepsilon_1 + \ideng{\varepsilon_2, t^2} \varepsilon_2
= \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3}}{6} \times \sqrt{3}(2t - 1)
= t - \frac{1}{6}
$$

\subq Le minimum cherché est donc~:
$$
d(t^2, F)^2 = \|t^2 - \pi_F(t^2)\|^2
= \int_0^1 \left(t^2 - t + \frac{1}{6} \right)^2 dt
= \frac{1}{5} - \frac{1}{2} + \frac{4}{9} - \frac{1}{6} + \frac{1}{36}
= \frac{1}{180}
$$

\q Ré-investissons les calculs précédents~: par définition~$t^2 - \pi_F(t^2) \in F^\perp$
donc la famille~$\{\varepsilon_1, \varepsilon_2, t^2 - t + \frac{1}{6}\}$ est orthogonale. Reste à
l'orthonormaliser, ce qui revient à normaliser~$t^2 - t + \frac{1}{6}$. Mais on connaît cette
norme puisque c'est~$d(t^2, F)$. Par conséquent la
famille~$\{\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3\}$,
où~$\varepsilon_3 = \sqrt{5}(6t^2 - 6t + 1)$ est une base orthonormée de~$G$
le sous-espace vectoriel engendré par~$1, \, t$ et~$t^2$. Reste à calculer le
projeté~$\pi_G(t^3)$ ce qui en passe par la détermination des produits scalaires~:
$$
\ideng{t^3, \varepsilon_1} = \frac{1}{4}
\qquad
\ideng{t^3, \varepsilon_2} = \frac{3\sqrt{3}}{20}
\qquad
\ideng{t^3, \varepsilon_3} = \frac{\sqrt{5}}{20}
$$
Par suite~:
$$
\pi_G(t^3) = \frac{1}{4} + \frac{3\sqrt{3}}{20} \times \sqrt{3}(2t - 1)
             + \frac{\sqrt{5}}{20} \times \sqrt{5}(6t^2 - 6t + 1)
           = \frac{3}{2} t^2 - \frac{3}{5} t + \frac{1}{20}
$$
Enfin, on en déduit le second minimum~:
$$
d(t^3, G)^2 = \|t^3 - \pi_G(t^3)\|^2
 = \int_0^1
     \left(
       t^6 - 3t^5 + \frac{69}{20}t^4 - \frac{19}{10} t^3 + \frac{51}{100} t^2 - \frac{3}{50} t
                                                                                   + \frac{1}{400}
     \right) dt
 = \frac{1}{2800}
$$
\fi