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Source de mat_compagnon.tex

Fichier TeX
\exo{Matrice compagnon et dualité}

Soit~$K$ un corps ($K = \RR$ ou~$\CC$ si vous préférez),~$E$ un $K$-espace vectoriel de
dimension finie~$n$  et~$u \in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme de~$E$. On suppose que~$(E, u)$
est un espace {\bfseries monogène} c'est-à-dire qu'il existe~$x \in E$ tel que~:
$$
E = K x \oplus K u(x) \oplus \cdots \oplus K u^{n-1}(x)
$$
Autrement dit, la famille~$\mathcal{B} = \{ x, u(x), \ldots, u^{n-1}(x) \}$ est une $K$-base
de~$E$.

\q Montrer l'existence de coefficents~$a_0, \ldots, a_{n-1} \in K$ tels que~:
$$
u^n(x) + a_{n-1} u^{n-1}(x) + \cdots + a_0 x = 0
$$

\q \`A l'aide de ces coefficients, dresser la matrice~$M$ de~$u$ dans la base~$\mathcal{B}$.
\q En déduire que le polynôme caractéristque de~$u$ n'est rien d'autre que~:
$$
(-1)^n (X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \cdots + a_0)
$$
(indication~: développer~$\det(M - X\Id)$ par rapport à la dernière colonne). En déduire que~:
$$
u^n + a_{n-1}u^{n-1} + \cdots + a_0 = 0
$$

\q Considérons~$E^*$ l'espace dual de~$E$ ainsi que~$v = {}^t u$ l'endomorphisme transposé de~$u$.
On va montrer que~$(E^*, v)$ est lui aussi un espace monogène~; notons, pour
alléger,~$e_i = u^{i-1}(x)$ et considérons~$\{e_i^*\}_i$ la base duale de~$\{e_i\}_i$.
Vérifier que~:
$$
E^* = K e_n^* \oplus K v(e_n^*) \oplus \cdots \oplus K v^{n-1} (e_n^*)
$$
Conclure.

\q Dresser la matrice de~$v$ dans la base~$\{e_n^*, v(e_n^*), \ldots, v^{n-1} (e_n^*)\}$.
Que remarquez-vous~?

\q En déduire que la matrice~$M$ est semblable à sa transposée\footnote{Plus généralement, on peut
montrer que toute matrice (à coefficients dans un corps) est semblable à sa transposée.}.

\ifwithcorrection \correction

\q Puisque~$u \in \mathcal{L}(E)$, il en est de même de~$u^n$ par conséquent, $u^n(x) \in E$.
La famille~$x, u(x), \ldots, u^{n-1}(x)$ étant une base de~$E$, il
existe~$\lambda_0, \ldots, \lambda_{n-1} \in K$ tels que~:
$$
u^n(x) = \lambda_0 x + \cdots + \lambda_{n-1} u^{n-1}(x)
$$
Posant~$a_i = - \lambda_i$, on a bien~:
$$
u^n(x) + a_{n-1} u^{n-1}(x) + \cdots + a_0 x = 0
$$
\q Par construction, on a~:
$$
M = \Mat(u, \mathcal{B}) =
\begin{pmatrix}
0 &   & & & -a_0 \\
1 & 0 & & & \vdots \\
  & 1 & \ddots & & \vdots \\
  &   & \ddots & 0 & -a_{n-2} \\
  &   &        & 1 & -a_{n-1} \\
\end{pmatrix}
$$
tous les coefficients n'apparaissant pas étant nuls.

\q Pour le calcul du polynôme caractéristique, suivre l'indication. La fin de la question découle
du théorème de Caley-Hamilton.

\q Pour montrer que~:
$$
E^* = K e_n^* \oplus K v(e_n^*) \oplus \cdots \oplus K v^{n-1} (e_n^*),
$$
il suffit (par exemple) de vérifier que la famille~$\{e_n^*, v(e_n^*), \ldots, v^{n-1}(e_n^*)\}$
est libre. Considérons une combinaisons linéaire nulle de cette famille~:
\begin{equation} \label{combi_li}
\lambda_0 e_n^* + \lambda_1 v(e_n^*) + \cdots + \lambda_{n-1} v^{n-1} (e_n^*) = 0
\end{equation}
En particlier, en appliquant cette égalité en~$e_1 = x$, on obtient~:
\begin{align*}
\lambda_0 e_n^*(x) + \lambda_1 v(e_n^*)(x) + \cdots + \lambda_{n-1} v^{n-1} (e_n^*)(x) &=
\lambda_0 e_n^*(x) + \lambda_1 e_n^*(u(x)) + \cdots + \lambda_{n-1} (e_n^*)(u^{n-1}(x)) \\
&= \lambda_0 e_n^*(e_1) + \lambda_1 e_n^*(e_2) + \cdots + \lambda_{n-1} (e_n^*)(e_n)  \\
& = \lambda_{n-1} = 0
\end{align*}
Le coefficient~$\lambda_{n-1}$ est donc nul. Tenant compte de ce fait et appliquant maintenant
l'égalité~(\ref{combi_li}) à~$e_2 = u(x)$ cette fois, on montre que~$\lambda_{n-2} = 0$. De
proche en proche, on prouve que~:
$$
\lambda_{n-1} = \lambda_{n-2} = \cdots = \lambda_0 = 0
$$
La famille~$\{v^{i}(e_n^*)\}_{0\leq i \leq n-1}$ est donc une famille libre de~$E^*$ que l'on
sait être de dimension~$n$~; c'est donc une $K$-base de~$E$. Autrement dit~$(E^*, v)$ est un
espace monogène.

\q Pour dresser la matrice de~$v$ dans la base~$\{e_n^*, v(e_n^*), \ldots, v^{n-1}(e_n^*)\}$, il
reste à décomposer~$v^n(e_n^*)$ sur cette base. Comme~$u^n + a_{n-1}u^{n-1} + \cdots + a_0 = 0$,
on a~:
\begin{align*}
v^n(e_n^*) &= e_n^* \circ u^n \\
           &= e_n^* \circ (-a_{n-1}u^{n-1} - a_{n-2}u^{n-2} \cdots - a_1 u - a_0) \\
           &= - a_{n-1} e_n^* \circ u^{n-1} - a_{n-2} e_n^* \circ u^{n-2}
                  \cdots - a_1 e_n^* \circ u - a_0 e_n^* \\
           &= - a_{n-1} v^{n-1}(e_n^*) - a_{n-2} v^{n-2}(e_n^*)
                  \cdots - a_1 v(e_n^*) - a_0 e_n^* \\
\end{align*}
Par conséquent,
$$
\Mat(v, \{e_n^*, v(e_n^*), \ldots, v^{n-1}(e_n^*)\}) = M
$$

\q D'après ce qui précède,
$$
\Mat(v, \{e_n^*, v(e_n^*), \ldots, v^{n-1}(e_n^*)\}) = \Mat(u, \{e_i\})
$$
Par ailleurs, on sait que~:
$$
\Mat(v, \{e_i^*\}) = {}^t \Mat(u, \{e_i\}) = {}^t M
$$
Ainsi~$M$ et~${}^t M$ représentent le même endomorphisme~$v$~; elles sont donc semblables.
\fi