\exo{Suites récurrentes linéaires} On note~$\mathcal{F}(\NN, \CC)$ le $\CC$-espace vectoriel des suites complexes et on s'intéresse au sous-ensemble~$E$ de~$\mathcal{F}(\NN, \CC)$ constitué des suites~$(u_n)_{n \in \NN}$ vérifiant la relation~: \begin{equation} \label{eq_li} u_{n+2} + a u_{n+1} + b u_n = 0 \end{equation} où~$(a,b) \in \CC \times \CC^*$. On introduit de plus l'application~$\varphi$ définie par~: $$ \begin{array}{rccc} \varphi~: & E & \longrightarrow & \CC^2 \\ & (u_n)_{n \in \NN} & \longmapsto & (u_0, u_1) \end{array} $$ \q Commencer par vérifier~: \subq que l'ensemble~$E$ est un sous-espace vectoriel de~$\mathcal{F}(\NN, \CC)$~; \subq et que l'application~$\varphi$ est linéaire. \q On cherche ici à déterminer la dimension (sur~$\CC$) de~$E$~; procéder comme suit. \subq Vérifier que~$\varphi$ est surjective. \subq \'Etudier l'injectivité de~$\varphi$. \subq En déduire la dimension de~$E$ (rappel~: deux espaces vectoriels isomorphes ont même dimension). \q Soit~$r \in \CC^*$~; à quelle condition (sur~$r$) la suite géométrique de raison~$r$ ---~c'est-à-dire la suite~$(r^n)_{n \in \NN}$~--- appartient-elle à~$E$. \q On se place ici dans le cas où le polynôme~$X^2 + aX + b$ admet deux racines distinctes~$r_1$ et~$r_2$. \subq Montrer que les suites géométriques~$(r_1^n)_{n \in \NN}$ et~$(r_2^n)_{n \in \NN}$ sont linéairement indépendantes. \subq En déduire que pour tout~$(u_n)_{n \in \NN} \in E$ il existe~$(\lambda, \mu) \in \CC^2$ unique tel que~$u_n = \lambda r_1^n + \mu r_2^n$. \q On se place pour finir dans le cas où le polynôme~$X^2 + aX + b$ admet une racine double notée~$r$. \subq Montrer que la suite~$(n r^n)_{n \in \NN}$ appartient alors à~$E$. \subq Vérifier que les suites~$(r^n)_{n \in \NN}$ et~$(n r^n)_{n \in \NN}$ sont linéairement indépendantes. \subq En déduire la forme des éléments de~$E$ dans ce cas. \ifwithcorrection \correction \q Soient~$(u_n)_n$,~$(v_n)_n$ deux suites vérifiant~(\ref{eq_li}) et~$\lambda, \mu$ deux complexes, il s'agit de vérifier que la suite~$(w_n)_n = (\lambda u_n + \mu v_n)_n$ satisfait elle aussi la relation~(\ref{eq_li}). Calculons donc~: \begin{align*} w_{n+2} + a w_{n+1} + b w_n &= (\lambda u_{n+2} + \mu v_{n+2}) + a(\lambda u_{n+1} + \mu v_{n+1}) + b (\lambda u_n + \mu v_n)\\ &= \lambda(u_{n+2} + a u_{n+1} + b u_n) + \mu(v_{n+2} + a v_{n+1} + b v_n) = 0 \end{align*} d'où le résultat. \q Soit~$(x,y) \in \CC^2$ alors la suite définie par~$u_0 = x$,~$u_1 = y$ et pour~$n \geq 2$, $u_n = - a u_{n-1} - b u_{n-2}$ est un antécédent de~$(x,y)$ par~$\varphi$. De plus, c'est le seul~; autrement dit, les suites de~$E$ sont entièrement déterminées par leurs deux premiers termes. On a bien montré que~$\varphi$ est bijective, ce qui prouve que la dimension de~$E$ est égale à~$2$. \q Pour que la suite~$(r^n)_{n \in \NN}$ appartienne à~$E$ il est nécessaire que~: $$ r^{n+2} + a r^{n+1} + b r^n = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad r^n (r^2 + ar + b) = 0 $$ ce qui impose,~$r$ étant non nul, à~$r$ d'être racine du polynôme~$X^2 + aX + b$. Cette condition est de plus suffisante. \q D'après ce qui précède, les suites~$(r_1^n)_{n \in \NN}$ et~$(r_2^n)_{n \in \NN}$ appartiennent à~$E$. \subq Elles sont de plus linéairement indépendantes~: si~$\lambda, \mu \in \CC$ sont tels que la suite~$(\lambda r_1^n + \mu r_2^n)_{n \in \NN}$ soit la suite nulle alors en particulier pour~$n = 0$ et~$n = 1$ on obtient les équations~: $$ \begin{cases} \lambda + \mu = 0 \\ \lambda r_1 + \mu r_2 = 0 \end{cases} \qquad \Longrightarrow \qquad \mu (r_1 - r_2) = 0 $$ Comme~$r_1 \not= r_2$, on en déduit que~$\mu = 0$ d'où~$\lambda = 0$. Les deux suites géométriques sont bien linéairement indépendantes. \subq Comme~$E$ est de dimension~$2$, la famille~$\{(r_1^n)_{n \in \NN}, (r_2^n)_{n \in \NN}\}$ est une base de~$E$ ce qui montre pour chaque suite~$(u_n)_{n \in \NN} \in E$, l'existence et l'unicité de~$\lambda$ et~$\mu \in \CC$ tels que~$u_n = \lambda r_1^n + \mu r_2^n$ (pour tout~$n$). \q Puisque~$r$ est une racine double de~$X^2 + aX + b$, on sait que~$r^2 + ar + b = 0$ et~$2r + a = 0$. \subq Calculons~: $$ (n+2)r^{n+2} + a (n+1)r^{n+1} + b n r^n = r^n \left[ n(r^2 + ar + b) + r(2r + a) \right] = 0 $$ d'où la conclusion. \subq Si~$\lambda, \mu \in \CC$ sont tels que~$(\lambda r^n + \mu nr^n)_{n \in \NN}$ est la suite nulle alors pour~$n = 0$ et~$n = 1$ on obtient~$\lambda = 0$ et~$\lambda r + \mu r = 0$ ce qui permet d'assurer la nullité de~$\lambda$ et~$\mu$ (car~$r \not= 0$). Encore une fois la famille est libre. \subq Dans ce cas, toutes les suites de~$E$ sont donc de la forme~$(\lambda r^n + \mu nr^n)_{n \in \NN}$ où~$\lambda, \mu \in \CC$. \fi