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Source de suites_rec_li_a_2_pas.tex

Fichier TeX
\exo{Suites récurrentes linéaires}

On note~$\mathcal{F}(\NN, \CC)$ le $\CC$-espace vectoriel des suites complexes et on s'intéresse
au sous-ensemble~$E$ de~$\mathcal{F}(\NN, \CC)$ constitué des suites~$(u_n)_{n \in \NN}$
vérifiant la relation~:
\begin{equation} \label{eq_li}
u_{n+2} + a u_{n+1} + b u_n = 0
\end{equation}
où~$(a,b) \in \CC \times \CC^*$. On introduit de plus l'application~$\varphi$ définie par~:
$$
\begin{array}{rccc}
\varphi~: & E                 & \longrightarrow & \CC^2       \\
          & (u_n)_{n \in \NN} & \longmapsto     & (u_0, u_1)
\end{array}
$$


\q Commencer par vérifier~:
\subq que l'ensemble~$E$ est un sous-espace vectoriel de~$\mathcal{F}(\NN, \CC)$~;
\subq et que l'application~$\varphi$ est linéaire.

\q On cherche ici à déterminer la dimension (sur~$\CC$) de~$E$~; procéder comme suit.
\subq Vérifier que~$\varphi$ est surjective.
\subq \'Etudier l'injectivité de~$\varphi$.
\subq En déduire la dimension de~$E$ (rappel~: deux espaces vectoriels isomorphes ont même
dimension).

\q Soit~$r \in \CC^*$~; à quelle condition (sur~$r$) la suite géométrique de raison~$r$
---~c'est-à-dire la suite~$(r^n)_{n \in \NN}$~--- appartient-elle à~$E$.

\q On se place ici dans le cas où le polynôme~$X^2 + aX + b$ admet deux racines distinctes~$r_1$
et~$r_2$.
\subq Montrer que les suites géométriques~$(r_1^n)_{n \in \NN}$ et~$(r_2^n)_{n \in \NN}$
sont linéairement indépendantes.
\subq En déduire que pour tout~$(u_n)_{n \in \NN} \in E$ il existe~$(\lambda, \mu) \in \CC^2$
unique tel que~$u_n = \lambda r_1^n + \mu r_2^n$.

\q On se place pour finir dans le cas où le polynôme~$X^2 + aX + b$ admet une racine double
notée~$r$.
\subq Montrer que la suite~$(n r^n)_{n \in \NN}$ appartient alors à~$E$.
\subq Vérifier que les suites~$(r^n)_{n \in \NN}$ et~$(n r^n)_{n \in \NN}$ sont linéairement
indépendantes.
\subq En déduire la forme des éléments de~$E$ dans ce cas.

\ifwithcorrection \correction

\q Soient~$(u_n)_n$,~$(v_n)_n$ deux suites vérifiant~(\ref{eq_li}) et~$\lambda, \mu$ deux
complexes, il s'agit de vérifier que la
suite~$(w_n)_n = (\lambda u_n + \mu v_n)_n$ satisfait elle aussi la relation~(\ref{eq_li}).
Calculons donc~:
\begin{align*}
w_{n+2} + a w_{n+1} + b w_n
&= (\lambda u_{n+2} + \mu v_{n+2}) + a(\lambda u_{n+1} + \mu v_{n+1}) + b (\lambda u_n + \mu v_n)\\
&= \lambda(u_{n+2} + a u_{n+1} + b u_n) + \mu(v_{n+2} + a v_{n+1} + b v_n) = 0
\end{align*}
d'où le résultat.
\q Soit~$(x,y) \in \CC^2$ alors la suite définie par~$u_0 = x$,~$u_1 = y$ et pour~$n \geq 2$,
$u_n = - a u_{n-1} - b u_{n-2}$ est un antécédent de~$(x,y)$ par~$\varphi$. De plus, c'est
le seul~; autrement dit, les suites de~$E$ sont entièrement déterminées par leurs deux premiers
termes. On a bien montré que~$\varphi$ est bijective, ce qui prouve que la dimension de~$E$ est
égale à~$2$.
\q Pour que la suite~$(r^n)_{n \in \NN}$ appartienne à~$E$ il est nécessaire que~:
$$
r^{n+2} + a r^{n+1} + b r^n = 0
\qquad \Longrightarrow \qquad r^n (r^2 + ar + b) = 0
$$
ce qui impose,~$r$ étant non nul, à~$r$ d'être racine du polynôme~$X^2 + aX + b$. Cette condition
est de plus suffisante.

\q D'après ce qui précède, les suites~$(r_1^n)_{n \in \NN}$ et~$(r_2^n)_{n \in \NN}$ appartiennent
à~$E$.
\subq Elles sont de plus linéairement indépendantes~: si~$\lambda, \mu \in \CC$ sont tels
que la suite~$(\lambda r_1^n + \mu r_2^n)_{n \in \NN}$ soit la suite nulle alors en particulier
pour~$n = 0$ et~$n = 1$ on obtient les équations~:
$$
\begin{cases}
\lambda + \mu = 0 \\
\lambda r_1 + \mu r_2 = 0
\end{cases}
\qquad \Longrightarrow \qquad \mu (r_1 - r_2) = 0
$$
Comme~$r_1 \not= r_2$, on en déduit que~$\mu = 0$ d'où~$\lambda = 0$. Les deux suites géométriques
sont bien linéairement indépendantes.
\subq Comme~$E$ est de dimension~$2$, la famille~$\{(r_1^n)_{n \in \NN}, (r_2^n)_{n \in \NN}\}$
est une base de~$E$ ce qui montre pour chaque suite~$(u_n)_{n \in \NN} \in E$, l'existence et
l'unicité de~$\lambda$ et~$\mu \in \CC$ tels que~$u_n = \lambda r_1^n + \mu r_2^n$ (pour tout~$n$).

\q Puisque~$r$ est une racine double de~$X^2 + aX + b$, on sait que~$r^2 + ar + b = 0$
et~$2r + a = 0$.
\subq Calculons~:
$$
(n+2)r^{n+2} + a (n+1)r^{n+1} + b n r^n =
r^n \left[ n(r^2 + ar + b) + r(2r + a) \right] = 0
$$
d'où la conclusion.
\subq Si~$\lambda, \mu \in \CC$ sont tels que~$(\lambda r^n + \mu nr^n)_{n \in \NN}$ est la suite
nulle alors pour~$n = 0$ et~$n = 1$ on obtient~$\lambda = 0$ et~$\lambda r + \mu r = 0$ ce qui
permet d'assurer la nullité de~$\lambda$ et~$\mu$ (car~$r \not= 0$). Encore une fois la famille
est libre.
\subq Dans ce cas, toutes les suites de~$E$ sont donc de la
forme~$(\lambda r^n + \mu nr^n)_{n \in \NN}$ où~$\lambda, \mu \in \CC$.
\fi