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Source de 2c_espace.tex

Fichier TeX
%&latex
\documentclass[10pt,a4paper,dvips]{article}
% \usepackage[applemac]{inputenc}
% \usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{geometry,graphicx}
% ==============================================================================
\newtheorem{propriete}{Propriété}
\newtheorem{definition}{Définition}
\newtheorem{theoreme}{Théorème}
\def\Vect#1{\overrightarrow{\strut #1}}
\def\vect#1{\overrightarrow{\strut #1}}
\everymath{\displaystyle}
\geometry{ hmargin=1.5cm , vmargin=1cm}
% ==============================================================================
\begin{document}
\begin{center}\huge
Géométrie dans l'espace en seconde	
\end{center}
\section{Généralités}
La géométrie élémentaire de l'espace  est née du souci d'étudier les propriétés de 
l'espace dans lequel nous vivons. Les objets élémentaires de cette 
géométrie sont les points, les droites et les plans. On considère 
ces notions comme des notions premières, c'est-à-dire suffisamment 
familières pour ne pas les définir. Pour leur étude il sera nécessaire 
d'admettre un certain nombre de propriétés de base.\\
Un point désigne un endroit précis. On le représente par un 
point ($.$) ou une croix $(\times)$, et on lui donne un nom. Mais 
il faut bien comprendre qu'il ne s'agit que d'une représentation de 
l'objet théorique, "point", qui n'a pas d'étendue.\\
Une droite est un ensemble de points, qu'on représente par un 
"segment", et auquel on donne un nom. il faut bien comprendre qu'il ne 
s'agit que d'une représentation de l'objet théorique, "droite", 
qui n'a pas de largeur, et qui est illimité dans les deux sens.\\
Un plan est un ensemble de points. La feuille de papier est une bonne 
représentation d'un plan. Lorsque l'on veut représenter plusieurs 
plans de l'espace, on représente chacun d'entre eux par un 
parallélogramme, censé représenter un rectangle en "perspective". Il 
ne s'agit là que d'une représentation de l'objet théorique "plan" qui 
n'a pas d'épaisseur et illimité dans tous les sens.
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.1}		
\end{center}
\begin{propriete}
	Les résultats de géométrie du plan sont applicables dans 
chaque plan de l'espace.
\end{propriete}

\section{Axiomes d'incidence}
Les axiomes d'incidences de la géométrie dans l'espace sont des 
axiomes qui fournissent des relations entre les points, les droites 
et les plans de cette géométrie. 
\begin{enumerate}
	\item  Par deux points distincts de l'espace il passe une et une 
	seule droite. Cette droite peut-être notée $(AB)$.
	
	\item  Par trois points non alignés, $A,B$ et $C$ passe un et un seul plan. 
	Ce plan peut-être noté $(ABC)$.\\

	\item  Si $A$ et $B$ sont deux points d'un plan $P$, tous les points 
	de la droite $(AB)$ appartiennent au plan.
\end{enumerate}
Il en résulte qu'un plan peut être déterminé par l'une des conditions 
suivantes~:\\[1em] 
\begin{tabular}{ccc}
	 trois points non alignés & deux droites sécantes & une droite et un 
	 point extérieur à celle-ci \\
	\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.3}	 	
		  & 
	\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.4}	 	
	      &
	\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.5}	 	 	
	       \\
\end{tabular}
\section{Positions relatives de droites et plans}
\begin{enumerate}
	\item $d$ et $d'$ sont deux droites de l'espace. Il n'existe que 
	deux possibilités~:
	\begin{enumerate}
	   \item  il n'existe aucun plan contenant ces deux droites, elles 
	   sont dites non coplanaires,
	   \begin{center}
	    \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.7}		
	   \end{center}
	   
	   \item  il existe un plan contenant ces deux droites, elles sont 
	   dites coplanaires (elles sont alors sécantes ou parallèles dans ce 
	   plan).
	\end{enumerate}
	
	\item $d$ est une droite et $P$ un plan de l'espace. Il n'existe que 
	trois possibilités~:
	\begin{enumerate}
		\item la droite et le plan n'ont qu'un point commun,
		la droite et le plan sont dits sécants (voir la figure précédente),
		
		\item la droite est incluse dans le plan,
		
		\item la droite et le plan n'ont aucun point commun.
	\end{enumerate}
    
	\item $P$ et $Q$ sont deux plans de l'espace. Il n'existe que trois 
	possibilités~:
	\begin{enumerate}
	\item les plans ont un point commun et sont distincts, alors ils sont sécants 
	suivant une droite passant par ce point, (ainsi deux plans distincts 
	qui ont deux points communs sont sécants suivant la droite définie 
	par ces deux points)
	\begin{center}
	\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.2}		
	\end{center}
	
	\item les plans sont confondus,
	
	\item ils n'ont aucun point commun.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section{Parallélisme dans l'espace}
La liste des propriétés n'est pas exhaustive$\ldots$certaines 
propriétés "évidentes" concernant le parallélisme dans l'espace 
n'apparaissent pas dans cette section.
\subsection{Définitions}
\begin{definition}\hfill 
\begin{itemize}
	\item  Deux droites sont parallèles lorsqu'elles sont coplanaires  et 
	non sécantes. Il en est ainsi de deux droites confondues ou bien 
	coplanaires et sans point commun.

	\item  Deux plans sont parallèles lorsqu'ils ne sont pas sécants. Il 
	en est ainsi de deux plans confondus ou sans point commun.

	\item Une droite et un plan sont parallèles lorsqu'ils ne pas 
	sécants. Il en est ainsi d'une droite incluse dans un plan ou d'une 
	droite et d'un plan sans point commun. 
\end{itemize}
\end{definition}
\noindent Remarques~:
\begin{itemize}
	\item  Le fait que deux droites n'aient aucun point 
commun ne suffit pas pour conclure, dans l'espace, qu'elles sont parallèles. 

	\item  Deux droites strictement parallèles définissent un plan.
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.6}
	\end{center}
\end{itemize}

\subsection{Parallélisme entre droites}
\begin{theoreme}
	Deux droites parallèles à une même troisième droite sont parallèles 
	entre elles.
\end{theoreme}
\parbox[]{10cm}{
\begin{theoreme} 
	Si $P$ et $Q$ sont deux plans parallèles, alors tout plan  qui 
	coupe $P$ coupe aussi $Q$ et les droites d'intersection sont 
	parallèles.
\end{theoreme}
                 }
\parbox[]{6cm}{\begin{center}\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.8}\end{center}}\\
\parbox[]{10cm}{
\begin{theoreme} 
	Si une droite est parallèle à deux plans sécants alors elle est 
	parallèle à leur droite d'intersection.
\end{theoreme}
                 }
\parbox[]{6cm}{\begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.9}\end{center}}\\
\parbox[]{10cm}{
\begin{theoreme} "Théorème du toit"\\
	$d$ et $d'$ sont deux droites parallèles. $P$ est un plan 
	contenant $d$ et $P'$ un plan contenant $d'$.\\
	Si, en outre, les plans $P$ et $P'$ sont sécants, alors la droite 
	$\Delta$ d'intersection de ces plans est parallèle à $d$ et $d'$.
\end{theoreme}
                 }
\parbox[]{6cm}{\begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.10}\end{center}}\\
\subsection{Parallélisme entre plans}
\begin{theoreme}
	Deux plans parallèles à un même troisième plan sont parallèles 
	entre eux.
\end{theoreme}
\parbox[]{10cm}{
\begin{theoreme} 
	Si deux droites sécantes d'un plan $P$ sont respectivement parallèles 
	à deux droites sécantes d'un plan $Q$, alors les plans $P$ et $Q$ 
	sont parallèles.
\end{theoreme}
                 }
\parbox[]{6cm}{\begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.11}\end{center}}\\
\subsection{Parallélisme entre droite et plan}
\parbox[]{10cm}{
\begin{theoreme} 
Si une droite $d$ est parallèle à une droite $d'$, alors la droite 
$d$ est parallèle à tout plan $P$ contennant la droite $d'$.
\end{theoreme}
                 }
\parbox[]{6cm}{\begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.12}\end{center}}\\
\section{Orthogonalité dans l'espace}
\subsection{Définitions}
\noindent \parbox[]{10cm}{
\begin{definition}
Deux droites $d$ et $\Delta$ (non nécessairement coplanaires) sont orthogonales 
si les parallèles à ces 
deux droites menées par un point $I$ quelconque sont 
perpendiculaires. ( Nous admettrons alors que les parallèles à $d$ et 
$\Delta$ passant par n'importe quel autre  point sont également 
perpendiculaires)
\end{definition}
                       }
\parbox[]{6cm}{\begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.13}\end{center}}\\
\noindent Exemple~: $ABCDEFGH$ est un cube alors $(AD) \perp (HG)$.\\
\noindent Remarques~:
\begin{itemize}
	\item  Deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement 
perpendiculaires, elles ne le sont que si elles sont coplanaires. En 
revanche la réciproque est vraie par définition de droites 
orthogonales.

	\item  Deux droites orthogonales à une même troisième ne sont pas 
	nécessairement parallèles. (facile à voir dans un cube)
\end{itemize}
\begin{definition}
Une droite $d$ est orthogonale à un plan lorsqu'elle est orthogonale 
à toutes les droites de ce plan.
\end{definition}
\subsection{Orthogonalité d'une droite et d'un plan}
\noindent \parbox[]{10cm}{
\begin{theoreme}
	Pour qu'une droite $\Delta$ soit orthogonale à un plan $P$ il suffit que 
	$\Delta$ soit orthogonale à deux droites sécantes de $P$.
\end{theoreme}
                       }
\parbox[]{6cm}{\begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.14}\end{center}}\\
\noindent \parbox[]{10cm}{
\begin{theoreme}\hfill
\begin{itemize} 
	\item  Deux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles.

	\item  Si deux plans sont parallèles, toute droite orthogonale à 
	l'un est orthogonale à l'autre.
\end{itemize}
\end{theoreme}
                       }
\parbox[]{6cm}{\begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.15}\end{center}}\\
\noindent \parbox[]{10cm}{
\begin{theoreme}\hfill
\begin{itemize}
	\item  Si deux droites sont parallèles, tout plan orthogonal à l'une 
	est orthogonal à l'autre.

	\item  Deux droites orthogonales à un même plan sont parallèles.
\end{itemize}
\end{theoreme}
                       }
\parbox[]{6cm}{\begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.16}\end{center}}\\
\subsection{Orthogonalité de deux droites de l'espace}
\begin{theoreme}
	Si deux droites sont parallèles, toute droite orthogonale à l'une est 
	orthogonale à l'autre.
\end{theoreme}
\subsection{Plans perpendiculaires}
\noindent \parbox[]{10cm}{
\begin{definition}
	Un plan $Q$ est perpendiculaire à un plan $P$  ($Q \perp P$), si il 
	existe une droite de $Q$ orthogonale à $P$. (Dans ce cas on a 
	aussi $P \perp Q$). %preuve dans le Durande lycee 1981
\end{definition}
                       }
\parbox[]{6cm}{\begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.17}\end{center}}\\
\noindent Remarques~:
\begin{itemize}
	\item l'exemple qu'il faut avoir en tête est celui d'un cube~: deux 
	faces quelconques non parallèles sont perpendiculaires.
	
	\item  Si $P \perp Q$ alors toute droite de l'un n'est pas 
	orthogonale à l'autre, c'est vrai pour l'une d'entre elles.( Dans un 
	cube $ABCDEFGH$ les faces $ABFE$ et $ABCD$ sont perpendiculaires 
	mais la droite $(AF)$ n'est pas orthogonale à la face $ABCD$ car elle 
	n'est pas orthogonale à (AB))
	
	\item  Si $P \perp Q$ et $P' \perp Q$ alors $P$ et $P'$ ne sont pas 
	nécessairement parallèles (facile à voir dans un cube avec les 
	faces). Cette relation de perpendicularité de plans est donc moins 
	souple que celle de perpendicularité de droites.
\end{itemize}
\noindent \parbox[]{10cm}{
\begin{theoreme}
	Si $P$ et $P'$, deux plans sécants, sont perpendiculaires à un même 
	plan $Q$, alors leur intersection est orthogonale à $Q$.
\end{theoreme}
                       }
\parbox[]{6cm}{\begin{center} 
\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.18}\end{center}}\\
\begin{theoreme}
Si $P \perp Q$, toute droite de l'un, qui est orthogonale à leur 
	intersection, est orthogonale à l'autre. (voir la figure de la 
	définition précédente)
\end{theoreme}
\section{Vecteurs de l'espace}
La notion de vecteur (sens, direction, longueur) vue en géométrie plane se 
généralise sans difficultés à l'espace. Les notions suivantes aussi~:
\begin{enumerate}
	\item  Pour tout point $O$ de l'espace et tout vecteur $\vect{u}$, il 
	existe un point $A$ et un seul tel que $\Vect{OA}=\vect{u}$.
    \item  Égalité de deux vecteurs à l'aide de la définition (sens, 
	direction, longueur) ou caractérisation à l'aide d'un parallélogramme.
	\item  Les règles de calculs (Relation de Chasles, règle du 
	parallèlogramme, multiplication d'un vecteur par un réel)
	\item  La colinéarité de deux vecteurs et son application au parallélisme 
	ou bien à l'alignement de trois points.
\end{enumerate} 
\end{document}