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Source de arith.tex

Fichier TeX
%disposition standard pour les textes de devoirs 
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\newcommand{\N}{\mathbb{N}}%ens. des entiers
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}%ens. des relatifs
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}%ens. des rationnels
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}%ens. des réels
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}%ens. des complexes
\newcommand{\ROD}{\mbox{$\left(O,\vect{u},\vect{v}\right)$}}%repère orthon.direct
\newcommand{\RON}{\mbox{$\left(O,\vect{i},\vect{j}\right)$}}%repère orthon
\newcommand{\AXE}{\mbox{$\left(O,\vect{i}\right)$}}%axe (OI)
\newcommand{\base}{\mbox{$\mathcal{B} = \left(\vect{i},\vect{j}\right)$}}
%base des vecteurs du plan
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\def\vect#1{\overrightarrow{\strut#1}}
\newcounter{num}
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\newcommand{\pt}{\hspace*{0,5cm}$\bullet$\hspace*{0,2cm}}
\newcommand{\disf}{\displaystyle\frac}
% Definitions pour l'inclusion de graphiques eps (Jean-Michel SARLAT)
\def\figTR#1{}
% Si vous ne voulez pas inclure de figure, retirer éventuellement les lignes
% suivantes jusqu'à la section 4

\usepackage[dvips]{epsfig}
% == Figure en taille fixee par l'utilisateur
\def\taille{\long\def\epsfsize##1##2{\facteur\textwidth}}
\def\fig#1#2{\long\def\facteur{#1}\taille\epsffile{#2}}
% == Figure en taille reelle
\def\tailleR{\long\def\epsfsize##1##2{0pt}}
\def\figTR#1{\tailleR\epsffile{#1}}

%numérotation des pages par rapport à la dernière
\makeatletter
\renewcommand{\@evenfoot}%
   {\hfill
    page {\thepage}/\pageref{LastPage}
    \hfill}
\renewcommand{\@oddfoot}{\@evenfoot}
\makeatother
%fin de la macro pour numéroter les pages

\begin{document}
\definecolor{gris}{gray}{0.8}
\geometry{margin=1cm}
\noindent
\fcolorbox{black}{gris}{
\makebox[17,6cm][s]{
\textsl{Classe de TS 2 spé}\hfill
\textsl{\large{Exercices de MATH\'EMATIQUES}}\hfill %(préciser) 
\textsl{Année scolaire 1998-1999}}}%indiquer l'année scolaire
\begin{center}
%à remettre le xx/xx/199x %date à indiquer 
%du xx/xx/199x(xx heure)
\end{center}
\exo\\[0,2cm] On considère l'équation : $36x - 25y = 5$ pour $x$ et $y$ entiers relatifs.
\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}] Montrer que pour, pour toute solution $(x,y)$, $x$ est multiple de 5.
\item[\textbf{2.}] Déterminer une solution particulière de l'équation, puis la résoudre.
\item[\textbf{3.}] Soit $d$ le plus grand commun diviseur de $x$ et $y$ lorsque $(x,y)$ est %%@
solution de l'équation. 
\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] Quelles sont les valeurs possibles de $d$ ?
\item[\textbf{b.}] Quelles sont les solutions pour lesquelles $x$ et $y$ sont premiers entre %%@
eux ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\exo \\[0,2cm] $a$ et $b$ étant deux entiers naturels non nuls, soit $d$ leur pgcd et $m$ leur %%@
ppcm.\\ Trouver tous les couples $(a,b)$ vérifiant le système : 
$$\left\lbrace \begin{array}{l}
m = d^2\\
m + d = 156\\
a\se b
\end{array}
\right.$$
\exo 
\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}] Montrer que si deux nombres entiers $x$ et $y$ sont premiers entre eux, il %%@
en est de même pour les entiers $2x+y$ et $5x+2y$.
\item[\textbf{2.}] Déterminer les entiers naturels non nuls $a$ et $b$ vérifiant :
$$\left\lbrace \begin{array}{l}
(2a + b)(5a + 2b) = 1620\\
ab = 3m
\end{array}
\right.$$$m$ désigne le ppcm de $a$ et $b$.
\end{enumerate}
\exo\\[0,2cm] Démontrer que sauf une exception, tout nombre premier $p$ est décomposable d'une %%@
seule façon en une différence de deux carrés d'entiers. Exemple : trouver $a$ et $b$ tels que %%@
$983 = a^2-b^2$.\\[0,5cm]
\exo\\[0,2cm] $a,\ b,\ c,\ d$ sont quatre entiers naturels non nuls qui vérifient $ab - cd = %%@
1$.
\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}] Montrer que cette relation est équivalente à $a(b+d) - d(c+a) = 1$.
\item[\textbf{2.}] En déduire que $\disf{a}{a+c},\quad \disf{d}{b+d},\quad \disf{a+c}{b+d}$ %%@
sont trois fractions irréductibles.
\end{enumerate}
\exo\\[0,2cm] On pose $u = 2+\sqrt{3}\ \mathrm{et}\ v = 2 - \sqrt{3}.$
\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}] Démontrer par récurrence que, $n$ désignant un entier strictement positif, %%@
on peut écrire : 
$$u^n = a_n + b_n\sqrt{3}\ \mathrm{et} \  v^n = a_n - b_n\sqrt{3},$$$a_n$ et $b_n$ sont des %%@
entiers naturels.\\ 
Exprimer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.
\item[\textbf{2.}] \'Etablir les égalités : $a^{2}_{n} - 3b^{2}_{n} = 1$ et $a_nb_{n+1} - %%@
a_{n+1}b_n = 1$.\\[0,2cm] 
En déduire que les fractions $\disf{a_n}{b_n},\ \disf{a_{n+1}}{a_n},\ \disf{b_{n+1}}{b_n}$ sont %%@
irréductibles.
\end{enumerate}
\newpage
\noindent
\begin{center}
\fcolorbox{black}{gris}{
\makebox[17,6cm][s]{
\textsl{Classe de TS 2 spé}\hfill
\textsl{\large{Corrigé des exercices d'arithmétique (fev. 99)}}\hfill %(préciser) 
\textsl{Année scolaire 1998-1999}}}%indiquer l'année scolaire
\end{center}
\framebox{EXERCICE 1}
\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}] $36x=5(5y+1)$, $5$ divise $36x$ et $5$ est premier avec $36$ donc $5$ divise %%@
$x$.
\item[\textbf{2.}] Une solution particulière de l'équation est $x=5$ ; $y=7$.\\ L'équation est  %%@
équivalente à : $36(x-5) = 25(y-7).$ Or $25$ divise $36(x-5)$, est premier avec 36 donc, %%@
d'après le théorème de Gauss, divise $x-5$ ; de même $36$ divise $y-7$. Il existe donc %%@
$(k,k')\in \Z^2$ tel que $x=25k+5$ et $y=36k'+7$. En reportant dans l'équation $36(x-5) = 25(y-%%@
7)$, on en déduit $k=k'$. D'où la solution générale : $x=25k+5\,;\,y=36k+7,\ k \in \Z$.
\item[\textbf{3.}] 
\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] $d$ divisant $x$ et $y$ divise donc $5$. Donc $d \in \{1\,;\,5\}$.
\item[\textbf{b.}] $x=5(5k+1)$, produit de deux entiers premiers entre eux ; %%@
$y=36k+7=7(5k+1)+k$, et comme $5k+1$ et $k$ sont premiers entre eux, il en est de même de $y$ %%@
et $5k+1$. Par suite $x$ et $y$ ne peuvent être premiers entre eux que dans le seul cas où $y$ %%@
n'est pas multiple de $5$.\\ Or $y=5(7k+1)+k+2$ donc $y \equiv k+2 \pmod{5}$ et $k+2 \not %%@
\equiv 0 \pmod 5$ ssi $k \not \equiv 3 \pmod 5$.\\ D'où les solutions lorsque  $x$ et $y$ sont %%@
premiers entre eux :  $x=25k+5\,;\,y=36k+7$,  $k \in \Z$ et $k \not \equiv 3 \pmod 5$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\framebox{EXERCICE 2}\\[0,2cm] On déduit du système donné $d^2+d = d(d+1)= 156 = 12\times 13$. %%@
Donc $d=12$ et $m=144$.\\ En posant $\disf{a}{12}=a'$ et $\disf{b}{12}=b'$, on cherche $a'$ et %%@
$b'$ premiers entre eux tels que $a'\se b'$ et $a'\times b' = 12$. \\ Après calculs on trouve %%@
$a'=12$ et $b'=1$, ou $a'=4$ et $b'=3$. D'où $ (a;b) \in \{(144,12)\,;\,(48,36)\}$.\\[0,2cm]
\framebox{EXERCICE 3}
\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}] Tout diviseur $d$ de $2x+y$ et $5x+2y$ divise $5x+2y-2(2x+y)=x$ et divise %%@
donc aussi $2x+y-2x=y$. Si $x$ et $y$ sont premiers entre eux, il en est donc de même de $2x+y$ %%@
et $5x+2y$.
\item[\textbf{2.}] Soit $d$ le ppcm de $a$ et $b$. Par hypothèse $d=3$.\\ En posant %%@
$\disf{a}{3}=a'$ et $\disf{b}{3}=b'$, on est ramené à chercher $a'$, $b'$, premiers entre eux,  %%@
tels que $$(2a'+b')(5a'+2b') = 180.$$\\ Or les entiers $2a'+b'$ et $5a'+2b'$ sont premiers %%@
entre eux et $180 = 2^2\times 3^2\times 5$. \\ Donc $(2a'+b'\,,\,5a'+2b') \in %%@
\{(1,180)\,;\,(4,45)\,;\,(5,36)\,;\,(9,20)\,;\,(20,9)\,;\,36,5)\,;\,(45,4)\,;(180,1)\}$.\\ Le %%@
système d'inconnues $a'$, $b'$ $$\left \lbrace \begin{array}{l}
2a'+b' = \alpha \\
5a'+2b'= \beta 
\end{array}
\right.$$ a pour solution $a' = \beta -2 \alpha\,;\,b'=5\alpha - 2\beta$. Soit en remplaçant le %%@
couple $(\alpha;\beta)$ successivement par chacun des couples de %%@
$\{(1,180)\,;\,(4,45)\,;\,(5,36)\,;\,(9,20)\,;\,(20,9)\,;\,36,5)\,;\,(45,4)\,;(180,1)\}$, on en %%@
déduit les seules solutions  formées d'entiers naturels : $(6,15)\,;\,(15,6)$.
\end{enumerate}
\framebox{EXERCICE 4} \\[0,2cm] Cherchons s'il existe des entiers naturels non nuls $|a|$ et %%@
$|b|$ tels que $p = |a|^2 - |b|^2$, avec $p$ premier.\\ $|a|^2 - |b|^2 = (|a|-|b|)(|a|+|b|)$ et  %%@
$|a|-|b| < |a|+|b|$ donc nécessairement $|a|-|b|=1$ et $|a|+|b|=p$. Par suite %%@
$|a|=\disf{p+1}{2}$ et $|b| = \disf{p-1}{2}$. La seule exception est donc pour $p=2$ (seul %%@
nombre premier pair).\\ Dans l'exemple $|a|-|b|=1$ et $|a|+|b|=983$, donc $|a|=492$ et %%@
$|b|=491$ d'où les quatre solutions $(-492,-491)\,;\, (-492,491)\,;\,(492,-491)\,;\,(492,491)$.
\newpage
\noindent
\framebox{EXERCICE 5}
\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}] Immédiat en développant et en réduisant l'égalité $a(b+d)-d(c+a)=1$.
\item[\textbf{2.}] Il résulte de la première question qu'il existe des entiers vérifiant %%@
$a(b+d)-d(c+a)=1$ c'est à dire qu'il existe des entiers $u$ et $v$ tels que $au+(c+a)v=1$ : %%@
d'après la propriété de Bezout $a$ et $c+a$ sont donc premiers entre eux et $\disf{a}{a+c}$ est %%@
une fraction irréductible.\\ On opère de manière analogue dans les deux autres cas. 
\end{enumerate}
\framebox{EXERCICE 5}
\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}] La propriété est vérifiée pour $n=1$.\\ Soit $n$ un entier supérieur à $1$. %%@
$$\mathrm{Si}\ u^n = a_n + b_n \sqrt{3} \  \mathrm{alors} \  u^{n+1} = (a_n + b_n %%@
\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=2a_n+3b_n + (a_n+2b_n)\sqrt{3}\quad ,$$ $$\mathrm{si}\ v^n = a_n-%%@
b_n\sqrt{3}\ \mathrm{alors}\   v^{n+1} = (a_n - b_n \sqrt{3})(2-\sqrt{3})=2a_n+3b_n - %%@
(a_n+2b_n)\sqrt{3}.$$ On obtient donc bien des expressions du même type.\\
Par suite pour tout $n\se 1$, $u^n = a_n + b_n \sqrt{3}$ et $v^n = a_n - b_n \sqrt{3}$.\\
Il résulte de ce qui précède que $a_{n+1}= 2a_n + 3b_n$ et $ b_{n+1} = a_n+2b_n$.
\item[\textbf{2.}] $a_n^2 - 3b_n^2 = u^n\times v^n = (uv)^n = 1$ et $ a_nb_{n+1} - a_{n+1}b_n = %%@
a_n(a_n+2b_n)-(2a_n+3b_n)b_n = a_n^2 - 3b_n^2 = 1$.\\ En raisonnant comme dans l'exercice 5, on %%@
en déduit que les fractions données sont irréductibles.
\end{enumerate}
\end{document}