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Source de coniqspe.tex

Fichier TeX
%disposition standard pour les textes de devoirs 
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\textwidth19cm
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\pagestyle{empty}%à supprimer au cas où le texte comporte plusieurs pages
%\footnotesize : à préciser si réduction de - 2pt par rapport à la taille %demandée nécessaire
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}%ens. des réels
\newcommand{\ROD}{\mbox{$\left(0,\vec{i},\vec{j}\right)$}}%repère orthon.oij
\newcommand{\RCO}{\mbox{$\left(0,\vec{u},\vec{v}\right)$}}%repère orthon.ouv
\begin{document}
\geometry{hmargin=1cm,vmargin=-0.5cm}
\textsl{Classe de TS 3/4}%indiquer la classe
\hfill
\textsl{\large{Exercices de Mathématiques : coniques}}
%préciser DEVOIR OU INTERROGATION ECRITE(sans préciser le numéro)
\hfill
\textsl{Année scolaire 1997-1998}\\[1cm]%indiquer l'année scolaire
%\begin{center}
%à remettre le xx/xx/199x%date à indiquer 
%ou du xx/xx/199x
%\end{center}
\framebox{EXERCICE 1}\\ 
\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}] Deux cercles $\left(C\right)$ et $\left(C'\right)$ sont tangents %%@
extérieurement en I. Une droite $D$ est tangente à $\left(C\right)$ en H et ne rencontre pas %%@
$\left(C'\right)$. Soit $h$ l'homothétie de centre I qui transforme $\left(C\right)$ en %%@
$\left(C'\right)$. 
\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] Construire l'image $h$(H) de H par $h$. 
\item[\textbf{b.}] On donne : le cercle $\left(C'\right)$, la droite $D$ et le point H de %%@
$D$.\\ Construire le cercle $\left(C\right)$ tangent extérieurement à $\left(C'\right)$ et %%@
tangent à $D$ en H.
\end{enumerate} 
\item[\textbf{2.}] Quel est l'ensemble des centre O des cercles $\left(C\right)$ tangents %%@
extérieurement à  $\left(C'\right)$ et à la droite $D$ en H, lorsque le point H décrit %%@
$D$~?\\[0,5cm]
\end{enumerate}
\framebox{EXERCICE 2}\\[0,5cm] Le plan $\left(\mathcal{P}\right)$ est rapporté au repère %%@
orthonormal \ROD.\\ Soit $\left(\mathcal{C}\right)$ la courbe d'équation : $$ x^2-%%@
3y^2+8x+12y+16=0 .$$
\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}] Démontrer que $\left(\mathcal{C}\right)$ est une conique dont on précisera %%@
les éléments caractéristiques : centre, foyers et directrices associées, etc ... Tracer %%@
$\left(\mathcal{C}\right)$.
\item[\textbf{2.}] Soit  $\left(D\right)$ la droite d'équation $y-3=0$. On désigne par %%@
$d$(M,$D$) la distance du point M à la droite $\left(D\right)$.\\ Soit P le point de %%@
coordonnées (-4,6) ; $d$(M,P) désigne la distance de M à P.\\ Quel est l'ensemble des points M %%@
du plan $\left(\mathcal{P}\right)$ tels que $d$(M,P)=2 $d$(M,$D$)~?\\[0,5cm] 
\end{enumerate}
\framebox{EXERCICE 3}\\[0,5cm] Soit $\alpha$ un réel de l'intervalle $]0,\pi[$. On considère %%@
l'équation d'inconnue complexe $z$ : $$ (E)\qquad  z^2\sin^2 \alpha - 4z\sin \alpha + 4 + %%@
\cos^2 \alpha = 0.$$ 
\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}] Résoudre $(E)$.
\item[\textbf{2.}] On désigne par M$^\prime$ et M$^{\prime\prime}$ les images des racines $z'$ %%@
et $z''$ de l'équation $(E)$ dans un repère orthonormal direct \RCO~du plan complexe.\\ %%@
Montrer que, lorsque $\alpha$ varie, l'ensemble des points M$^\prime$ et M$^{\prime\prime}$  %%@
est une branche d'hyperbole $\left(\mathcal{H}\right)$.\\ Préciser les éléments %%@
caractéristiques de $\left(\mathcal{H}\right)$ et dessiner la branche d'hyperbole en %%@
question.\\[0,5cm]  
\end{enumerate}
\framebox{EXERCICE 4}\\[0,5cm] Dans un plan rapporté à un repère orthonormal \ROD, (unité 2 %%@
cm), on considère la famille de courbes (\textsl{$C_m$}) d'équation : $$ 2mx^2-8mx-(m-%%@
1)y^2+12m-2=0,$$ $m$ étant un paramètre réel.
\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}] \'Etudier les cas particuliers $m=0$, $m=1$ et %%@
$m=\displaystyle\frac{1}{2}$.
\item[\textbf{2.}] On suppose désormais que $m\in \R-\{\displaystyle\frac{1}{2}, 0, 1\}$.\\ %%@
\'Etudier suivant les valeurs de $m$ la nature de (\textsl{$C_m$}). Donner dans chaque cas les %%@
éléments caractéristiques de (\textsl{$C_m$}).
\item[\textbf{3.}] Existe-t-il une valeur de $m$ pour laquelle : 
\begin{enumerate}
\item[$\bullet$] (\textsl{$C_m$}) est un cercle~? 
\item[$\bullet$] (\textsl{$C_m$}) est une hyperbole équilatère ($a=b$ dans l'équation %%@
réduite)~?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}