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Source de cordtln13.tex

Fichier TeX
%disposition standard pour les textes de devoirs 

\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[a4paper]{geometry}
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\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lastpage}
\textwidth17,9cm
\textheight25,5cm
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}%ens. des entiers
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}%ens. des relatifs
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}%ens. des rationnels
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}%ens. des réels
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}%ens. des complexes
\newcommand{\ROD}{\mbox{$\left(O,\vect{u},\vect{v}\right)$}}%repère orthon.direct
\newcommand{\RON}{\mbox{$\left(O,\vect{i},\vect{j}\right)$}}%repère orthon
\newcommand{\AXE}{\mbox{$\left(O,\vect{i}\right)$}}%axe (OI)
\newcommand{\base}{\mbox{$\mathcal{B} = \left(\vect{i},\vect{j}\right)$}}%base des vecteurs du %%@
%plan
\newcommand{\se}{\geqslant}
\newcommand{\ie}{\leqslant}
\def\vect#1{\overrightarrow{\strut#1}}
\newcounter{num}
\newcommand{\exo}{\addtocounter{num}{1}\framebox{EXERCICE~\thenum~}}
\newcommand{\pt}{\hspace*{0,5cm}$\bullet$\hspace*{0,2cm}}
\newcommand{\disf}{\displaystyle\frac}

% Definitions pour l'inclusion de graphiques eps (Jean-Michel SARLAT)
\def\figTR#1{}
% Si vous ne voulez pas inclure de figure, retirer éventuellement les lignes
% suivantes jusqu'à la section 4

\usepackage[dvips]{epsfig}
% == Figure en taille fixee par l'utilisateur
\def\taille{\long\def\epsfsize##1##2{\facteur\textwidth}}
\def\fig#1#2{\long\def\facteur{#1}\taille\epsffile{#2}}
% == Figure en taille reelle
\def\tailleR{\long\def\epsfsize##1##2{0pt}}
\def\figTR#1{\tailleR\epsffile{#1}}

%numérotation des pages par rapport à la dernière
\makeatletter
\renewcommand{\@evenfoot}%
    {\hfill
    page {\thepage}/\pageref{LastPage}
    \hfill}
\renewcommand{\@oddfoot}{\@evenfoot}
\makeatother
%fin de la macro pour numéroter les pages

\begin{document}
\definecolor{gris}{gray}{0.8}
\geometry{margin=1cm}
\noindent
\fcolorbox{black}{gris}{
\makebox[17,6cm][s]{
\textsl{Classe de 2 i}\hfill
\textsl{\large{Corrigé du devoir N°13}}\hfill
 %(préciser)
\textsl{Année scolaire 1998-1999}}}\\%indiquer l'année scolaire
\begin{center}
%à remettre le xx/xx/199x %date à indiquer
%du xx/xx/199x(xx heure)
\end{center}
\exo
\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}] Le système donné est successivement équivalent aux systèmes : $$\left\lbrace 
\begin{array}{l}
x=7y-z-40\\
3(7y-z-40)-y-z=20\\
7y-z-40+y-z=-10
\end{array}
\right.
\quad 
\left\lbrace 
\begin{array}{l}
x=7y-z-40\\
10y-2z=70\\
4y-z=15
\end{array}
\right.$$
Puis aux systèmes : $$ 
\left\lbrace 
\begin{array}{l}
x=7y-z-40\\
z=4y-15\\
10y-2(4y-15)=70
\end{array}
\right.
\quad
\left\lbrace
\begin{array}{l}
x=7y-z-40\\
z=4y-15\\
2y=40
\end{array}
\right.
\quad
\left\lbrace
\begin{array}{l}
y=20\\
z=65\\
x=35
\end{array}
\right.$$
D'où $\mathcal{S}=\{(35;20;65)\}$.

\item[\textbf{2.}] 
\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] \`A la fin de la première partie, $A$ et $B$, qui ont gagné, ont des avoirs  %%@
doublés qui deviennent respectivement $2x$ et $2y$. \\ L'avoir de $C$, qui a perdu, est donc de %%@
$z-x-y$.
\item[\textbf{b.}] \`A la fin de la deuxième partie, $B$ et $C$, qui ont gagné, ont des avoirs %%@
doublés qui deviennent respectivement $4y$ et $2(z-x-y)$.\\ L'avoir de $A$, qui a perdu, est %%@
donc de $2x-2y-(z-x-y)=3x-y-z$.\\[0,2cm]
\`A la fin de la troisième partie, $A$ et $C$, qui ont gagné, ont des avoirs doublés qui %%@
deviennent respectivement $2(3x-y-z)$ et $4(z-x-y)$. \\ L'avoir de $B$, qui a perdu, est donc %%@
de $4y-(3x-y-z)-2(z-x-y)=-x+7y-z$.
\item[\textbf{c.}] Les avoirs des trois joueurs sont identiques à la fin de cette troisième %%@
partie. On est alors conduit à résoudre le système : $$\left\lbrace 
\begin{array}{l}
6x-2y-2z=40\\
-x+7y-z=40\\
4z-4x-4y=40
\end{array}
\right.,$$ système équivalent au système : $$\left\lbrace 
\begin{array}{l}
3x-y-z=20\\
-x+7y-z=40\\
x+y-z=-10
\end{array}
\right.$$ qui a été résolu à la première question.\\ Les avoirs respectifs des joueurs $A$, $B$ %%@
et $C$ au début du jeu sont donc de $35$ F, $20$ F et $65$ F.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\exo 
\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}] On note $\mathcal{A}(ABC)$ l'aire du triangle $ABC$.\\Si $M\in [OB]$, soit %%@
$0\ie x \ie 6$, $f(x)=\mathcal{A}(OMA)=\disf{1}{2}x$ ;\\
si $M\in [BC]$, soit $6\ie x \ie 10$, $f(x)=\mathcal{A}(OAB)+ \mathcal{A}(BAM) %%@
=3+\disf{1}{2}(x-6)\times4=2x-9$ ;\\
si $M\in [CD]$, soit $10\ie x \ie 16$, $f(x)=\mathcal{A}(OAB) + \mathcal{A}(BAC)+ %%@
\mathcal{A}(CAM) =11+\disf{1}{2}(x-10)\times3=\disf{3}{2}x-4$ ;\\
si $M\in [DO]$, soit $16\ie x \ie 20$, $f(x)= \mathcal{A}(OBCD)- \mathcal{A}(OAM) = 24-%%@
\disf{1}{2}(x-16)\times 2=x+4$.
\item[\textbf{2.}] D'où le graphique :\\[0,5cm]
\begin{center}
\fig{0.8}{figdtln13.2.eps}
\end{center}
\item[\textbf{3.}] L'aire du rectangle est de $24$ unités d'aire : l'aire de chacun des %%@
domaines cités est donc de $8$ unités d'aire.\\ Soit $x_1$ l'abscisse de $M_1$. On cherche %%@
$x_1\in [6;10]$ tel que $f(x_1)=8$.\\ Soit $x_2$ l'abscisse de $M_2$. On cherche $x_2\in %%@
[10;16]$ tel que $\mathcal{A}(M_2AOD)=\mathcal{A}(OBCD)-f(x)=8$, c'est à dire $f(x_2)=16$.\\
Graphiqement on cherche les abscisses des points du graphique d'ordonnées $8$ et $16$ : on lit %%@
$x_1\approx 8,5$ et $x_2 \approx 13,4$.\\
Par le calcul :\\ \pt on résout $f(x)=8$ lorsque $x\in [6;10]$, soit $2x-9=8$. On trouve %%@
$x=8,5$, valeur qui appartient bien à l'intervalle $[6;10]$.\\
\pt on résout $f(x)=16$ lorsque $x\in [10;16]$, soit $\disf{3}{2}x-4=16$. On trouve %%@
$x=\disf{40}{3}$, valeur qui appartient bien à l'intervalle $[10;16]$.
\end{enumerate}
\exo 
\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}] 
\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] Par théorème,\\ \pt  $|x-2|\se 1 $ équivaut à $ x\ie 1\  \mathrm{ou}\ x\se %%@
3$ ;\\ \pt $|x-2|\ie 4$  équivaut à $-2\ie x \ie 6$.\\ Les deux conditions précédentes seront %%@
donc simultanément vérifiées ssi $x\in [-2;1]\cup[3;6]$.
\item[\textbf{b.}] La double inégalité donnée est équivalente à $|2x+3|\se2$ et $|2x+3|\ie %%@
3$.\\ Par théorème, \\ \pt $|2x+3|\se 2 $ équivaut à $(2x\ie -5\  \mathrm{ou}\ 2x\se -1)$  %%@
équivaut à  $(x\ie -\disf{5}{2}\  \mathrm{ou}\  x\se - \disf{1}{2})$ ;\\ \pt $|2x+3|\ie 3$ %%@
équivaut à $-6\ie 2x \ie 0$  équivaut à  $-3\ie x \ie 0$.\\ Les deux conditions précédentes %%@
seront donc simultanément vérifiées ssi $x\in \left[-3;-\disf{5}{2}\right]\cup\left[-%%@
\disf{1}{2};0\right]$.
\end{enumerate}
\item[\textbf{2.}] $|x+y-2| \ie 3$  équivaut à  $-1\ie x+y \ie 5$  équivaut à  $(y\se -x-1 \ %%@
\mathrm{et}\ y \ie -x+5)$.\\
$|2x-y-1| \se 2 $ équivaut à  $ (2x-y \se -1\   \mathrm{ou}\  2x-y \ie 3)$ équivaut à  $(y\ie %%@
2x+1 \ \mathrm{ou}\ y \se 2x-3)$.\\ En désignant par $(AD)$ et $(BC)$ les droites d'équations %%@
$y=-x-1$ et $y=-x+5$, par $(AB)$ et $(DC)$ les droites d'équations $y=2x+1$ et $y=2x-3$, les %%@
points $M$ cherchés sont ceux extérieurs au parallèlogramme $ABCD$ dans la bande limitée par %%@
$(AD)$ et $(BC)$. D'où le graphique.
\begin{center}
\fig{0.2}{figdtln13.3.eps}
\end{center}
\end{enumerate}
\exo 
\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}] Pour $x \se 0$ et $y \se 0$, $|x|+|y|\ie 2$ équivaut à $x+y \ie 2$   %%@
équivaut à $y\ie -x+2$.\\ Les solutions sont les coordonnées des points intérieurs au triangle %%@
$OAB$ limité par les droites d'équations $x=0$, $y=0$ et $y=-x+2$.
\begin{center}
\fig{0.2}{figdtln13.4.eps}
\end{center}
\item[\textbf{2.}] Autres cas : \\ \pt si $x\se0$ et $y\ie 0$, $|x|+|y|\ie 2$ équivaut à $x-y %%@
\ie 2$  équivaut à $y\se x-2$ dont les solutions sont les coordonnées des points intérieurs au %%@
triangle limité par les droites d'équations $x=0$, $y=0$ et $y=x-2$ ;
\\
\pt si $x\ie 0$ et $y\ie 0$, $|x|+|y|\ie 2$  équivaut à $-x-y \ie 2$  équivaut à $ y\se -x-2$ %%@
dont les solutions sont les coordonnées des points intérieurs au triangle limité par les %%@
droites d'équations $x=0$, $y=0$ et $y=-x-2$ ;
\\
\pt si $x\ie0$ et $y\se 0$, $|x|+|y|\ie 2$  équivaut à $-x+y \ie 2$ équivaut à $ y\ie x+2$ dont %%@
les solutions sont les coordonnées des points intérieurs au triangle limité par les droites %%@
d'équations $x=0$, $y=0$ et $y=x+2$.\\
\item[\textbf{3.}] En résumé, les solutions de l'inéquation $|x|+|y|\ie 2$ sont les coordonnées %%@
des points intérieurs au carré $ABCD$ délimité par les quatre droites d'équations $y=-x+2$, %%@
$y=x-2$, $y=-x-2$ et $y=x=2$. D'où le graphique :
\begin{center}
\fig{0.2}{figdtln13.4.2.eps}
\end{center}



\end{enumerate}
\end{document}