%disposition standard pour les textes de devoirs \documentclass[11pt,a4paper]{article} \usepackage[a4paper]{geometry} \usepackage{french,amssymb,amstex,amsfonts} \usepackage[dvips]{color} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{lastpage} \usepackage{multicol} \textwidth17,9cm \textheight25,5cm \newcommand{\N}{\mathbb{N}}%ens. des entiers \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}%ens. des relatifs \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}%ens. des rationnels \newcommand{\R}{\mathbb{R}}%ens. des réels \newcommand{\C}{\mathbb{C}}%ens. des complexes \newcommand{\ROD}{\mbox{$\left(O,\vect{u},\vect{v}\right)$}}%repère orthon.direct \newcommand{\RON}{\mbox{$\left(O,\vect{i},\vect{j}\right)$}}%repère orthon \newcommand{\AXE}{\mbox{$\left(O,\vect{i}\right)$}}%axe (OI) \newcommand{\base}{\mbox{$\mathcal{B} = \left(\vect{i},\vect{j}\right)$}}%base des vecteurs du %%@ %plan \newcommand{\se}{\geqslant} \newcommand{\ie}{\leqslant} \def\vect#1{\overrightarrow{\strut#1}} \newcounter{num} \newcommand{\exo}{\addtocounter{num}{1}\framebox{EXERCICE~\thenum~}} \newcommand{\pt}{\hspace*{0,5cm}$\bullet$\hspace*{0,2cm}} \newcommand{\disf}{\displaystyle\frac} % Definitions pour l'inclusion de graphiques eps (Jean-Michel SARLAT) \def\figTR#1{} % Si vous ne voulez pas inclure de figure, retirer éventuellement les lignes % suivantes jusqu'à la section 4 \usepackage[dvips]{epsfig} % == Figure en taille fixee par l'utilisateur \def\taille{\long\def\epsfsize##1##2{\facteur\textwidth}} \def\fig#1#2{\long\def\facteur{#1}\taille\epsffile{#2}} % == Figure en taille reelle \def\tailleR{\long\def\epsfsize##1##2{0pt}} \def\figTR#1{\tailleR\epsffile{#1}} %numérotation des pages par rapport à la dernière \makeatletter \renewcommand{\@evenfoot}% {\hfill page {\thepage}/\pageref{LastPage} \hfill} \renewcommand{\@oddfoot}{\@evenfoot} \makeatother %fin de la macro pour numéroter les pages \begin{document} \definecolor{gris}{gray}{0.8} \geometry{margin=1cm} \noindent \fcolorbox{black}{gris}{ \makebox[17,6cm][s]{ \textsl{Classe de 2 i}\hfill \textsl{\large{Devoir de MATH\'EMATIQUES N°13}}\hfill %(préciser) \textsl{Année scolaire 1998-1999}}}\\%indiquer l'année scolaire \begin{center} à remettre le 21 avril 1999 \\ \textbf{rédaction et présentation seront soignées : traits tirés à la règle, orthographe %%@ correcte etc.}%date à indiquer %du xx/xx/199x(xx heure) \end{center} \exo \begin{enumerate} \item[\textbf{1.}] Résoudre le système $$\left\lbrace \begin{array}{l} 3x-y-z=20\\ -x+7y-z=40\\ x+y-z=-10 \end{array} \right.$$ \item[\textbf{2.}] Trois amis $A$, $B$ et $C$ conviennent que les deux gagnants prélèveront sur %%@ l'argent du perdant, à chaque partie du jeu qu'ils entament, de quoi doubler la somme qu'ils %%@ possèdent. Les sommes sont exprimées en francs (F). \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] Au début du jeu $A$ dispose de $x$ F, $B$ de $y$ F et $C$ de $z$ F.\\ Au %%@ cours de la première partie, $A$ et $B$ gagnent et $C$ perd : calculer les avoirs respectifs %%@ des trois amis à l'issue de cette partie \item[\textbf{b.}] Vérifier que les avoirs respectifs de $A$, $B$ et $C$ à la fin de la %%@ deuxième partie qui a vu $B$ et $C$ gagner et $A$ perdre sont en francs $3x-y-z$, $4y$ et $2z-%%@ 2x-2y$.\\ Calculer les avoirs respectifs des trois amis à la fin de la troisième partie qui a %%@ vu $A$ et $C$ gagner et $B$ perdre. \item[\textbf{c.}] Sachant qu'à la fin de cette troisième partie, les trois joueurs possèdent %%@ la même somme de $40$ F, calculer les mises initiales $x$, $y$ et $z$ de chacun d'eux.(Inutile %%@ de refaire certains calculs déjà réalisés ... !) \end{enumerate} \end{enumerate} \exo \\[0,2cm] On considère les points $B(6,0)$, $C(6,4)$, $D(0,4)$ et le rectangle $OBCD$ dans lequel %%@ $A(2,1)$ est un point fixe et $M$ un point variable qui se déplace sur le pourtour du rectangle %%@ suivant le trajet $O-B-C-D-O$.\\ On désigne par $x$ la longueur du trajet d'origine $O$ et d'extémité $M$, et par $f(x)$ l'aire %%@ du domaine correspondant à la position de $M$ (domaine hachuré sur le graphique). \begin{center} \fig{0,45}{figdtln13.eps} \end{center} \begin{enumerate} \item[\textbf{1.}] Calculer $f(x)$ dans chacun des quatre cas : $M\in [OB]$, $M\in [BC]$, $M\in %%@ [CD]$ et $M\in [DO]$. \item[\textbf{2.}] Représenter graphiquement la fonction $f$. \item[\textbf{3.}] Utiliser la représentation graphique précédente pour déterminer $M_1$ sur %%@ $[BC]$ et $M_2$ sur $[CD]$ de telle sorte que les trois domaines $OBM_1A$, $M_1CM_2A$ et %%@ $M_2AOD$ aient la même aire.\\ Vérifier par le calcul les valeurs approchées obtenues %%@ graphiquement pour les abscisses de $M_1$ et $M_2$, précédemment. \end{enumerate} \exo \begin{enumerate} \item[\textbf{1.}] Déterminer les réels $x$ solutions simultanément des deux inéquations %%@ suivantes : \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] $|x - 2| \se 1$ et $|x - 2| \ie 4$ ;\\ \item[\textbf{b.}] $2\ie |2x+3| \ie 3$. \end{enumerate} \item[\textbf{2.}] Indiquer la région du plan où choisir les points $M$ dont les coordonnées %%@ $(x,y)$ sont solutions simultanément des inéquations $|x+y-2|\ie 3$ et $|2x-y-1|\se 2$. \end{enumerate} \exo \\[0,2cm] On cherche à résoudre l'inéquation $|x|+|y| \ie 2$ et à représenter ses %%@ solutions. \begin{enumerate} \item[\textbf{1.}] \'Ecrire cette inéquation lorsque $x\se 0$ et $y\se 0$. Représenter ses %%@ solutions. \item[\textbf{2.}] Il existe trois autres cas semblables au premier. Les énumérer et résoudre %%@ dans chacun d'eux l'inéquation obtenue. \item[\textbf{3.}] Conclure quant au problème posé. \end{enumerate} \end{document}