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Source de dtln13.tex

Fichier TeX
%disposition standard pour les textes de devoirs 

\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[a4paper]{geometry}
\usepackage{french,amssymb,amstex,amsfonts}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{multicol}
\textwidth17,9cm
\textheight25,5cm
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}%ens. des entiers
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}%ens. des relatifs
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}%ens. des rationnels
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}%ens. des réels
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}%ens. des complexes
\newcommand{\ROD}{\mbox{$\left(O,\vect{u},\vect{v}\right)$}}%repère orthon.direct
\newcommand{\RON}{\mbox{$\left(O,\vect{i},\vect{j}\right)$}}%repère orthon
\newcommand{\AXE}{\mbox{$\left(O,\vect{i}\right)$}}%axe (OI)
\newcommand{\base}{\mbox{$\mathcal{B} = \left(\vect{i},\vect{j}\right)$}}%base des vecteurs du %%@
%plan
\newcommand{\se}{\geqslant}
\newcommand{\ie}{\leqslant}
\def\vect#1{\overrightarrow{\strut#1}}
\newcounter{num}
\newcommand{\exo}{\addtocounter{num}{1}\framebox{EXERCICE~\thenum~}}
\newcommand{\pt}{\hspace*{0,5cm}$\bullet$\hspace*{0,2cm}}
\newcommand{\disf}{\displaystyle\frac}

% Definitions pour l'inclusion de graphiques eps (Jean-Michel SARLAT)
\def\figTR#1{}
% Si vous ne voulez pas inclure de figure, retirer éventuellement les lignes
% suivantes jusqu'à la section 4

\usepackage[dvips]{epsfig}
% == Figure en taille fixee par l'utilisateur
\def\taille{\long\def\epsfsize##1##2{\facteur\textwidth}}
\def\fig#1#2{\long\def\facteur{#1}\taille\epsffile{#2}}
% == Figure en taille reelle
\def\tailleR{\long\def\epsfsize##1##2{0pt}}
\def\figTR#1{\tailleR\epsffile{#1}}

%numérotation des pages par rapport à la dernière
\makeatletter
\renewcommand{\@evenfoot}%
    {\hfill
    page {\thepage}/\pageref{LastPage}
    \hfill}
\renewcommand{\@oddfoot}{\@evenfoot}
\makeatother
%fin de la macro pour numéroter les pages

\begin{document}
\definecolor{gris}{gray}{0.8}
\geometry{margin=1cm}
\noindent
\fcolorbox{black}{gris}{
\makebox[17,6cm][s]{
\textsl{Classe de 2 i}\hfill
\textsl{\large{Devoir de MATH\'EMATIQUES N°13}}\hfill
 %(préciser)
\textsl{Année scolaire 1998-1999}}}\\%indiquer l'année scolaire
\begin{center}
à remettre le 21 avril 1999 \\
\textbf{rédaction et présentation seront soignées : traits tirés à la règle, orthographe %%@
correcte etc.}%date à indiquer
%du xx/xx/199x(xx heure)
\end{center}
\exo
\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}] Résoudre le système $$\left\lbrace 
\begin{array}{l}
3x-y-z=20\\
-x+7y-z=40\\
x+y-z=-10
\end{array}
\right.$$
\item[\textbf{2.}] Trois amis $A$, $B$ et $C$ conviennent que les deux gagnants prélèveront sur %%@
l'argent du perdant, à chaque partie du jeu qu'ils entament, de quoi doubler la somme qu'ils %%@
possèdent. Les sommes sont exprimées en francs (F).
\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] Au début du jeu $A$ dispose de $x$ F, $B$ de $y$ F et $C$ de $z$ F.\\ Au %%@
cours de la première partie, $A$ et $B$ gagnent et $C$ perd : calculer les avoirs respectifs %%@
des trois amis à l'issue de cette partie 
\item[\textbf{b.}] Vérifier que les avoirs respectifs de $A$, $B$ et $C$ à la fin de la %%@
deuxième partie qui a vu $B$ et $C$ gagner et $A$ perdre sont en francs $3x-y-z$, $4y$ et $2z-%%@
2x-2y$.\\ Calculer les avoirs respectifs des trois amis à la fin de la troisième partie qui a %%@
vu $A$ et $C$ gagner et $B$ perdre.
\item[\textbf{c.}] Sachant qu'à la fin de cette troisième partie, les trois joueurs possèdent %%@
la même somme de $40$ F, calculer les mises initiales $x$, $y$ et $z$ de chacun d'eux.(Inutile %%@
de refaire certains calculs déjà réalisés ... !)
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\exo \\[0,2cm] 
On considère les points $B(6,0)$, $C(6,4)$, $D(0,4)$ et le rectangle $OBCD$ dans lequel %%@
$A(2,1)$ est un point fixe et $M$ un point variable qui se déplace sur le pourtour du rectangle %%@
suivant le trajet $O-B-C-D-O$.\\
On désigne par $x$ la longueur du trajet d'origine $O$ et d'extémité $M$, et par $f(x)$ l'aire %%@
du domaine correspondant à la position de $M$ (domaine hachuré sur le graphique).
\begin{center}
\fig{0,45}{figdtln13.eps}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}] Calculer $f(x)$ dans chacun des quatre cas : $M\in [OB]$, $M\in [BC]$, $M\in %%@
[CD]$ et $M\in [DO]$.
\item[\textbf{2.}] Représenter graphiquement la fonction $f$.
\item[\textbf{3.}] Utiliser la représentation graphique précédente pour déterminer $M_1$ sur %%@
$[BC]$ et $M_2$ sur $[CD]$ de telle sorte que les trois domaines $OBM_1A$, $M_1CM_2A$ et %%@
$M_2AOD$ aient la même aire.\\ Vérifier par le calcul les valeurs approchées obtenues %%@
graphiquement pour les abscisses de $M_1$ et $M_2$, précédemment.
\end{enumerate}
\exo
\begin{enumerate} 
\item[\textbf{1.}] Déterminer les réels $x$ solutions simultanément des deux inéquations %%@
suivantes :
\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] $|x - 2| \se 1$ et $|x - 2| \ie 4$ ;\\
\item[\textbf{b.}] $2\ie |2x+3| \ie 3$.
\end{enumerate}
\item[\textbf{2.}] Indiquer la région du plan où choisir les points $M$ dont les coordonnées %%@
$(x,y)$ sont solutions simultanément des inéquations $|x+y-2|\ie 3$ et $|2x-y-1|\se 2$.
\end{enumerate}
\exo \\[0,2cm] On cherche à résoudre l'inéquation $|x|+|y| \ie 2$ et à représenter ses %%@
solutions.
\begin{enumerate} 
\item[\textbf{1.}] \'Ecrire cette inéquation lorsque $x\se 0$ et $y\se 0$. Représenter ses %%@
solutions.
\item[\textbf{2.}] Il existe trois autres cas semblables au premier. Les énumérer et résoudre %%@
dans chacun d'eux l'inéquation obtenue.
\item[\textbf{3.}] Conclure quant au problème posé.
\end{enumerate}
\end{document}