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\begin{document}

\begin{center}
{\LARGE ANNALES DE MATH\'{E}MATIQUES SERIE S\medskip}

{\LARGE CENTRES \'{E}TRANGERS 2000\medskip}

{\LARGE \'{E}NONCE}

\textbf{EXERCICE 1 (4 points)\medskip}
\end{center}

Une urne contient 10 boules indiscernables, 5 rouges, 3 jaunes et 2 vertes.

Dans la question 1) on tire au hasard et simultan\'{e}ment 3 boules de cette
urne. Les r\'{e}ponses seront donn\'{e}s sous forme de fractions irr\'{e}ductibles.

\begin{enumerate}
\item  Soit les \'{e}v\'{e}nements suivants :\newline $A$ : \guillemotleft
\ Les trois boules sont rouges \guillemotright\ \newline $B$ : \guillemotleft
\ Les trois boules sont de la m\^{e}me couleur \guillemotright\ \newline $C$ :
\guillemotleft\ Les trois boules sont chacune d'une couleur diff\'{e}rente \guillemotright

\begin{enumerate}
\item  Calculer les probabilit\'{e}s $p\left( A\right) ,$ $p\left( B\right)$ et $p\left( C\right)$.

\item  On appelle $X$ la variable al\'{e}atoire qui \{a} chaque tirage
associe le nombre de couleurs obtenues. D\'{e}terminer la loi de
probabilit\'{e} de $X$. Calculer $E\left( X\right)$.
\end{enumerate}

\item  Dans cette question, on remplace les 5 boules rouges par $n$ boules
rouges o\{u} $n$ est un entier sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \{a} 2. L'urne
contient donc $n+5$ boules, c'est \{a} dire $n$ rouges, 3 jaunes et 2 vertes.
On tire au hasard et simultan\'{e}ment deux boules de cette urne. Soit les
\'{e}v\'{e}nements suivants :\newline $D$ : \guillemotleft\ Tirer deux boules
rouges \guillemotright\ \newline $E$ : \guillemotleft\ Tirer deux boules de la
m\^{e}me couleur \guillemotright\

\begin{enumerate}
\item  Montrer que la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\'{e}nement $D$ est%
$p\left( D\right) =\frac{n\left( n-1\right) }{\left( n+5\right) \left( n+4\right) }%$

\item  Calculer la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\'{e}nement $E$, $p\left( E\right)$ en fonction de $n$.\newline Pour quelles valeurs de $n$ a-t-on
$p\left( E\right) \geqslant\frac{1}{2}%$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{EXERCICE 2 (5 points)}

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de sp\'{e}cialit\'{e}.
\end{center}

Le plan complexe est rapport\'{e} \{a} un rep\{e}re orthonormal direct
$\left( O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$. On consid\{e}re
les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $i$ et $\left( -i\right)$. Soit
$f$ l'application qui \{a} tout point $M$ du plan d'affixe $z$ distincte de
$\left( -i\right)$ associe le point $M^{\prime}$ d'affixe $z^{\prime}$
telle que
$z^{\prime}=\frac{1+iz}{z+i}%$

\begin{enumerate}
\item  Quelle est l'image par l'application $f$ du point $O$ ?

\item  Quel est le point qui a pour image par l'application $f$ le point $C$
d'affixe $1+i$ ?

\item  Montrer que l'\'{e}quation
$\frac{1+iz}{z+i}=z$
admet deux solutions que l'on d\'{e}terminera.

\item  V\'{e}rifier que%
$z^{\prime}=\frac{i\left( z-i\right) }{z+i}%$
En d\'{e}duire
$OM^{\prime}=\frac{AM}{BM}%$
et
$\left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{OM^{\prime}}\right) =\left( \overrightarrow{MB},\overrightarrow{MA}\right) +\frac{\pi}{2}+2k\pi\text{ avec }k\in\mathbb{Z}%$

\item  Montrer que tous les points de l'axe des abscisses ont leurs images par
l'application $f$ situ\'{e}s sur un m\^{e}me cercle $\left( C\right)$ que
l'on pr\'{e}cisera.

\item  Soit $M$ un point du cercle de diam\{e}tre $\left[ AB\right]$
diff\'{e}rent de $A$ et $B.$ Montrer que son image $M^{\prime}$ est situ\'{e}e
sur l'axe des abscisses.
\end{enumerate}

\begin{center}
EXERCICE 2\\
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialit\'{e}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}] Le plan $(P)$ est rapport\'{e} à un repère orthonormal direct $\ROD$.\\
Soit $A$ et $B$ dans ce plan d'affixes respectives $a = 1+i$ ; $b = - 4 - i$.\\
Soit $f$ la transformation du plan $(P)$ qui \{a} tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M^{\prime}$ d'affixe $z^{\prime}$ tel que $\vect{OM^{\prime}} = 2 \vect{AM} + \vect{BM}$.
\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] Exprimer $z^{\prime}$ en fonction de $z$.
\item[\textbf{b.}] Montrer que $f$ admet un seul point invariant $\Omega$ dont on donnera l'affixe. En d\'{e}duire que $f$ est une homoth\'{e}tie dont on pr\'{e}cisera le centre et le rapport.
\end{enumerate}
\item[\textbf{2.}] On se place dans le cas où les coordonn\'{e}s $x$ et $y$ de $M$ sont des entiers naturels avec $1 \ie x \ie 8$ et $1 \ie y \ie 8$.\$0.3cm] Les coordonn\'{e}es (x^{\prime},y^{\prime}) de M^{\prime} sont alors : x^{\prime} = 3x + 2\quad \mbox{et} \quad y^{\prime} = 3y - 1. \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] On appelle G et H les ensembles des valeurs prises par respectivement x^{\prime} et y^{\prime}.\\ \'Ecrire la liste compl\{e}te des éléments de G et H. \item[\textbf{b.}] Montrer que x'-y' est un multiple de 3 \item[\textbf{c.}] Montrer que la somme et la différence de deux entiers quelconques ont même parité.\\[0.3cm] On se propose de déterminer tous les couples (x',y') de G \times H tels que m ={ x'}^2 -{y'}^2 soit un multiple non nul de 60. \item[\textbf{d.}] Montrer que dans ces conditions, le nombre x'-y' est un multiple de 6. Le nombre x'-y' peut-il être un multiple de 30 ? \item[\textbf{e.}] En déduire que si {x'}^2 - {y'}^2 est un multiple non nul de 60, x'+y' est un multiple de 10 et utiliser cette condition pour trouver tous les couples (x',y') qui conviennent.\\[0.3cm] En déduire les couples (x,y) correspondants aux couples (x',y') trouvés. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{PROBL\{E}ME (11 points)} \end{center} \textbf{I) Pr\'{e}liminaires} \begin{enumerate} \item \'{E}tudier le sens de variation de la fonction g d\'{e}finie sur \mathbb{R} par% \[ g\left( t\right) =e^{t}-t-1$
Quel est le minimum de la fonction $g$ sur l'intervalle $\left] -\infty,+\infty\right[$ ?

\item  En d\'{e}duire les in\'{e}galit\'{e}s suivantes :

\begin{enumerate}
\item  Pour tout r\'{e}el $t$ :%
$e^{t}\geqslant t+1$%
$e^{t}>t$
et%
$-te^{t}>-1$

\item  Pour tout r\'{e}el $t>-1$ :%
$\ln\left( 1+t\right) \leqslant t$
\end{enumerate}

\item  En d\'{e}duire que pour tout r\'{e}el $x$ :%
$\ln\left( 1-xe^{-x}\right) \leqslant-xe^{-x}%$
\end{enumerate}

\textbf{II) \'{E}tude d'une fonction}

On consid\{e}re la fonction $f$ d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par%
$f\left( x\right) =x^{2}-2\ln\left( e^{x}-x\right)$

\begin{enumerate}
\item  Montrer que%
$f\left( x\right) =x^{2}-2x-2\ln\left( 1-xe^{-x}\right)$
Quelle est la limite de $f$ en $+\infty$ ?\newline On admettra que la limite
de la fonction $f$ en $-\infty$ est $+\infty$.

\item  Calculer $f^{\prime}\left( x\right)$ et montrer que%
$f^{\prime}\left( x\right) =\frac{2\left( x-1\right) \left( e^{x}% -x-1\right) }{e^{x}-x}%$
Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.

\item  Dans un rep\{e}re orthonormal (unit\'{e} 3 cm), on consid\{e}re la
parabole $\left( P\right)$ d'\'{e}quation%
$y=x^{2}-2x$
et $\left( C\right)$ la courbe repr\'{e}sentative de la fonction $f$.
Montrer que $\left( C\right)$ et $\left( P\right)$ sont asymptotes en
$+\infty$. \'{E}tudier les positions relatives des courbes $\left( C\right)$ et $\left( P\right)$.

\item  Donner une \'{e}quation de chacune des tangentes $D$ et $D^{\prime}$
respectivement aux courbes $\left( P\right)$ et $\left( C\right)$ au
point d'abscisse 0.

\item  Tracer dans un m\^{e}me rep\{e}re les courbes $\left( C\right)$ et
$\left( P\right)$ et leurs tangentes $D$ et $D^{\prime}$.
\end{enumerate}

\textbf{III) \'{E}tude d'une int\'{e}grale}

\begin{enumerate}
\item  Soit $n$ un entier naturel. On pose :%
$u_{n}=\int_{0}^{n}xe^{-x}dx$

\begin{enumerate}
\item  D\'{e}montrer que la suite $u$ de terme g\'{e}n\'{e}ral $u_{n}$ est croissante.

\item  Calculer $u_{n}$ \{a} l'aide d'une int\'{e}gration par parties.

\item  D\'{e}terminer la limite de la suite $\left( u_{n}\right)$.
\end{enumerate}

\item  L'aire du domaine (en unit\'{e}s d'aire) limit\'{e} par les droites
d'\'{e}quation $x=0$ et $x=n$, la parabole $\left( P\right)$ et la courbe
$\left( C\right)$ est d\'{e}finie par%
$I_{n}=-2\int_{0}^{n}\ln\left( 1-xe^{x}\right) dx$

\begin{enumerate}
\item  Montrer en utilisant la question 3) des pr\'{e}liminaires que%
$I_{n}\geqslant2u_{n}%$

\item  On admet que la suite $\left( I_{n}\right)$ a pour limite $l$.
Montrer que $l\geqslant2$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}`