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\begin{document}

\begin{center}
{\LARGE ANNALES DE MATH\'{E}MATIQUES SERIE S\medskip}

{\LARGE CENTRES \'{E}TRANGERS 2000\medskip}

{\LARGE \'{E}NONCE}

\textbf{EXERCICE 1 (4 points)\medskip}
\end{center}

Une urne contient 10 boules indiscernables, 5 rouges, 3 jaunes et 2 vertes.

Dans la question 1) on tire au hasard et simultan\'{e}ment 3 boules de cette
urne. Les r\'{e}ponses seront donn\'{e}s sous forme de fractions irr\'{e}ductibles.

\begin{enumerate}
\item  Soit les \'{e}v\'{e}nements suivants :\newline $A$ : \guillemotleft
\ Les trois boules sont rouges \guillemotright\ \newline $B$ : \guillemotleft
\ Les trois boules sont de la m\^{e}me couleur \guillemotright\ \newline $C$ :
\guillemotleft\ Les trois boules sont chacune d'une couleur diff\'{e}rente \guillemotright

\begin{enumerate}
\item  Calculer les probabilit\'{e}s $p\left(  A\right)  ,$ $p\left(
B\right)  $ et $p\left(  C\right)  $.

\item  On appelle $X$ la variable al\'{e}atoire qui \`{a} chaque tirage
associe le nombre de couleurs obtenues. D\'{e}terminer la loi de
probabilit\'{e} de $X$. Calculer $E\left(  X\right)  $.
\end{enumerate}

\item  Dans cette question, on remplace les 5 boules rouges par $n$ boules
rouges o\`{u} $n$ est un entier sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 2. L'urne
contient donc $n+5$ boules, c'est \`{a} dire $n$ rouges, 3 jaunes et 2 vertes.
On tire au hasard et simultan\'{e}ment deux boules de cette urne. Soit les
\'{e}v\'{e}nements suivants :\newline $D$ : \guillemotleft\ Tirer deux boules
rouges \guillemotright\ \newline $E$ : \guillemotleft\ Tirer deux boules de la
m\^{e}me couleur \guillemotright\ 

\begin{enumerate}
\item  Montrer que la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\'{e}nement $D$ est%
\[
p\left(  D\right)  =\frac{n\left(  n-1\right)  }{\left(  n+5\right)  \left(
n+4\right)  }%
\]

\item  Calculer la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\'{e}nement $E$, $p\left(
E\right)  $ en fonction de $n$.\newline Pour quelles valeurs de $n$ a-t-on
\[
p\left(  E\right)  \geqslant\frac{1}{2}%
\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{EXERCICE 2 (5 points)}

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de sp\'{e}cialit\'{e}.
\end{center}

Le plan complexe est rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal direct
$\left(  O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)  $. On consid\`{e}re
les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $i$ et $\left(  -i\right)  $. Soit
$f$ l'application qui \`{a} tout point $M$ du plan d'affixe $z$ distincte de
$\left(  -i\right)  $ associe le point $M^{\prime}$ d'affixe $z^{\prime}$
telle que
\[
z^{\prime}=\frac{1+iz}{z+i}%
\]

\begin{enumerate}
\item  Quelle est l'image par l'application $f$ du point $O$ ?

\item  Quel est le point qui a pour image par l'application $f$ le point $C$
d'affixe $1+i$ ?

\item  Montrer que l'\'{e}quation
\[
\frac{1+iz}{z+i}=z
\]
admet deux solutions que l'on d\'{e}terminera.

\item  V\'{e}rifier que%
\[
z^{\prime}=\frac{i\left(  z-i\right)  }{z+i}%
\]
En d\'{e}duire
\[
OM^{\prime}=\frac{AM}{BM}%
\]
et
\[
\left(  \overrightarrow{u},\overrightarrow{OM^{\prime}}\right)  =\left(
\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MA}\right)  +\frac{\pi}{2}+2k\pi\text{
avec }k\in\mathbb{Z}%
\]

\item  Montrer que tous les points de l'axe des abscisses ont leurs images par
l'application $f$ situ\'{e}s sur un m\^{e}me cercle $\left(  C\right)  $ que
l'on pr\'{e}cisera.

\item  Soit $M$ un point du cercle de diam\`{e}tre $\left[  AB\right]  $
diff\'{e}rent de $A$ et $B.$ Montrer que son image $M^{\prime}$ est situ\'{e}e
sur l'axe des abscisses.
\end{enumerate}

\begin{center}
EXERCICE 2\\
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialit\'{e}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}] Le plan $(P)$ est rapport\'{e} à un repère orthonormal direct $\ROD$.\\
Soit $A$ et $B$ dans ce plan d'affixes respectives $a = 1+i$ ; $b = - 4 - i$.\\
Soit $f$ la transformation du plan $(P)$ qui \`{a} tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M^{\prime}$ d'affixe $z^{\prime}$ tel que $\vect{OM^{\prime}} = 2 \vect{AM} + \vect{BM}$.
\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] Exprimer $z^{\prime}$ en fonction de $z$.
\item[\textbf{b.}] Montrer que $f$ admet un seul point invariant $\Omega $ dont on donnera l'affixe. En d\'{e}duire que $f$ est une homoth\'{e}tie dont on pr\'{e}cisera le centre et le rapport.
\end{enumerate}
\item[\textbf{2.}] On se place dans le cas où les coordonn\'{e}s $x$ et $y$ de $M$ sont des entiers naturels avec $1 \ie x \ie 8$ et $1 \ie y \ie 8$.\\[0.3cm]
Les coordonn\'{e}es $(x^{\prime},y^{\prime})$ de $M^{\prime}$ sont alors :
$$x^{\prime} = 3x + 2\quad \mbox{et} \quad y^{\prime} = 3y - 1.$$
\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] On appelle $G$ et $H$  les ensembles des valeurs prises par respectivement $x^{\prime}$ et $y^{\prime}$.\\
\'Ecrire la liste compl\`{e}te des éléments de $G$ et $H$.
\item[\textbf{b.}] Montrer que $x'-y'$ est un multiple de $3$
\item[\textbf{c.}] Montrer que la somme et la différence de deux entiers quelconques ont même parité.\\[0.3cm]
On se propose de déterminer tous les couples $(x',y')$ de $G \times H$ tels que $m ={ x'}^2 -{y'}^2$ soit un multiple non nul de $60$.
\item[\textbf{d.}] Montrer que dans ces conditions, le nombre $x'-y'$ est un multiple de $6$. Le nombre $x'-y'$ peut-il être un multiple de $30$ ?
\item[\textbf{e.}] En déduire que si ${x'}^2 - {y'}^2$ est un multiple non nul de $60$, $x'+y'$ est un multiple de $10$ et utiliser cette condition pour trouver tous les couples $(x',y')$ qui conviennent.\\[0.3cm]
En déduire les couples $(x,y)$ correspondants aux couples $(x',y')$ trouvés.
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\begin{center}
\textbf{PROBL\`{E}ME (11 points)}
\end{center}

\textbf{I) Pr\'{e}liminaires}

\begin{enumerate}
\item \'{E}tudier le sens de variation de la fonction $g$ d\'{e}finie sur
$\mathbb{R}$ par%
\[
g\left(  t\right)  =e^{t}-t-1
\]
Quel est le minimum de la fonction $g$ sur l'intervalle $\left]
-\infty,+\infty\right[  $ ?

\item  En d\'{e}duire les in\'{e}galit\'{e}s suivantes :

\begin{enumerate}
\item  Pour tout r\'{e}el $t$ :%
\[
e^{t}\geqslant t+1
\]%
\[
e^{t}>t
\]
et%
\[
-te^{t}>-1
\]

\item  Pour tout r\'{e}el $t>-1$ :%
\[
\ln\left(  1+t\right)  \leqslant t
\]
\end{enumerate}

\item  En d\'{e}duire que pour tout r\'{e}el $x$ :%
\[
\ln\left(  1-xe^{-x}\right)  \leqslant-xe^{-x}%
\]
\end{enumerate}

\textbf{II) \'{E}tude d'une fonction}

On consid\`{e}re la fonction $f$ d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par%
\[
f\left(  x\right)  =x^{2}-2\ln\left(  e^{x}-x\right)
\]

\begin{enumerate}
\item  Montrer que%
\[
f\left(  x\right)  =x^{2}-2x-2\ln\left(  1-xe^{-x}\right)
\]
Quelle est la limite de $f$ en $+\infty$ ?\newline On admettra que la limite
de la fonction $f$ en $-\infty$ est $+\infty$.

\item  Calculer $f^{\prime}\left(  x\right)  $ et montrer que%
\[
f^{\prime}\left(  x\right)  =\frac{2\left(  x-1\right)  \left(  e^{x}%
-x-1\right)  }{e^{x}-x}%
\]
Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.

\item  Dans un rep\`{e}re orthonormal (unit\'{e} 3 cm), on consid\`{e}re la
parabole $\left(  P\right)  $ d'\'{e}quation%
\[
y=x^{2}-2x
\]
et $\left(  C\right)  $ la courbe repr\'{e}sentative de la fonction $f$.
Montrer que $\left(  C\right)  $ et $\left(  P\right)  $ sont asymptotes en
$+\infty$. \'{E}tudier les positions relatives des courbes $\left(  C\right)
$ et $\left(  P\right)  $.

\item  Donner une \'{e}quation de chacune des tangentes $D$ et $D^{\prime}$
respectivement aux courbes $\left(  P\right)  $ et $\left(  C\right)  $ au
point d'abscisse 0.

\item  Tracer dans un m\^{e}me rep\`{e}re les courbes $\left(  C\right)  $ et
$\left(  P\right)  $ et leurs tangentes $D$ et $D^{\prime}$.
\end{enumerate}

\textbf{III) \'{E}tude d'une int\'{e}grale}

\begin{enumerate}
\item  Soit $n$ un entier naturel. On pose :%
\[
u_{n}=\int_{0}^{n}xe^{-x}dx
\]

\begin{enumerate}
\item  D\'{e}montrer que la suite $u$ de terme g\'{e}n\'{e}ral $u_{n}$ est croissante.

\item  Calculer $u_{n}$ \`{a} l'aide d'une int\'{e}gration par parties.

\item  D\'{e}terminer la limite de la suite $\left(  u_{n}\right)  $.
\end{enumerate}

\item  L'aire du domaine (en unit\'{e}s d'aire) limit\'{e} par les droites
d'\'{e}quation $x=0$ et $x=n$, la parabole $\left(  P\right)  $ et la courbe
$\left(  C\right)  $ est d\'{e}finie par%
\[
I_{n}=-2\int_{0}^{n}\ln\left(  1-xe^{x}\right)  dx
\]

\begin{enumerate}
\item  Montrer en utilisant la question 3) des pr\'{e}liminaires que%
\[
I_{n}\geqslant2u_{n}%
\]

\item  On admet que la suite $\left(  I_{n}\right)  $ a pour limite $l$.
Montrer que $l\geqslant2$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}

— Syracuse — Dernière modification : 17 janvier 2002 (0.08s - 3207022 - 5 juillet 2008)

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