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Source de revarit99.tex

Fichier TeX
%disposition standard pour les textes de devoirs 

\documentclass[11pt,a4paper]{article}
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\textwidth18cm
\textheight25.5cm
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}%ens. des entiers
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}%ens. des relatifs
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}%ens. des rationnels
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}%ens. des réels
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}%ens. des complexes
\newcommand{\ROD}{\mbox{$\left(O,\vect{u},\vect{v}\right)$}}%repère orthon.direct
\newcommand{\RON}{\mbox{$\left(O,\vect{i},\vect{j}\right)$}}%repère orthon
\newcommand{\AXE}{\mbox{$\left(O,\vect{i}\right)$}}%axe (OI)
\newcommand{\base}{\mbox{$\mathcal{B} = \left(\vect{i},\vect{j}\right)$}}%base des vecteurs du %%@
%plan
\newcommand{\se}{\geqslant}
\newcommand{\ie}{\leqslant}
\def\vect#1{\overrightarrow{\strut#1}}
\newcounter{num}
\newcommand{\exo}{\addtocounter{num}{1}\framebox{EXERCICE~\thenum~}}
\newcommand{\pt}{\hspace*{0,5cm}$\bullet$\hspace*{0,2cm}}
\newcommand{\disf}{\displaystyle\frac}

% Definitions pour l'inclusion de graphiques eps (Jean-Michel SARLAT)
\def\figTR#1{}
% Si vous ne voulez pas inclure de figure, retirer éventuellement les lignes
% suivantes jusqu'à la section 4

\usepackage[dvips]{epsfig}
% == Figure en taille fixee par l'utilisateur
\def\taille{\long\def\epsfsize##1##2{\facteur\textwidth}}
\def\fig#1#2{\long\def\facteur{#1}\taille\epsffile{#2}}
% == Figure en taille reelle
\def\tailleR{\long\def\epsfsize##1##2{0pt}}
\def\figTR#1{\tailleR\epsffile{#1}}

%numérotation des pages par rapport à la dernière
\makeatletter
\renewcommand{\@evenfoot}%
    {\hfill
    page {\thepage}/\pageref{LastPage}
    \hfill}
\renewcommand{\@oddfoot}{\@evenfoot}
\makeatother
%fin de la macro pour numéroter les pages

\begin{document}
\definecolor{gris}{gray}{0.8}
\geometry{margin=1cm}
\noindent
\fcolorbox{black}{gris}{
\makebox[17,6cm][s]{
\textsl{Classe de TS 2 spé}\hfill
\textsl{\large{MATH\'EMATIQUES : exercices de révision   }}\hfill
 %(préciser)
\textsl{Année scolaire 1998-1999}}}\\%indiquer l'année scolaire
\begin{center}
%à remettre le xx/xx/199x %date à indiquer
%du xx/xx/199x(xx heure)
\end{center}
\exo 
\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}] Montrer que si deux nombres sont premiers entre eux, il en est de même de leur somme et de leur produit.
\item[\textbf{2.}] Résoudre dans $\N^2$ le système $\displaystyle
\left\lbrace
\begin{array}{l}
x+y=56\\
\textrm{ppcm}(x,y) = 105
\end{array}
\right.$
\end{enumerate}
\exo 
\begin{enumerate}

\item[\textbf{1.}] Déterminer l'ensemble des entiers naturels diviseurs de $210$.

\item[\textbf{2.}] Déterminer les couples $(x,y)$ d'entiers naturels non nuls tels que  $\displaystyle
\left\lbrace
\begin{array}{l}
\textrm{ppcm}(x,y) = 210 \ \textrm{pgcd}(x,y)\\
y-x=\textrm{pgcd}(x,y)
\end{array}
\right.$
\end{enumerate}

\exo 

\begin{enumerate}

\item[\textbf{1.}] Déterminer l'ensemble des diviseurs entiers naturels de 1997.\\
En déduire l'ensemble des couples $(x,y)$ de $\N^2$ vérifiant :\quad $x^2-y^2 = 1997.$

\item[\textbf{2.}] Résoudre dans $\N^2$ l'équation $x^2-y^2 = p$, où $p$ est un entier naturel premier.

\end{enumerate}
\exo 
\begin{enumerate}


\item[\textbf{1.}]
Montrer que pour tout entier $k$, les nombres $5k-2$ et $2k-1$ sont premiers entre eux.

\item[\textbf{2.}]
Soit un entier $k$. Montrer que le pgcd de $5k+3$ et $2k-1$ est celui de $k+5$ et $11$.\\
En déduire, suivant les valeurs de $k$, le ppcm de $5k+3$ et $2k-1$.

\end{enumerate}

\exo\\ [0,2cm] 
Quelles sont les valeurs possibles du pgcd des entiers $x$ et $y$ solutions de l'équation $7x-4y=9$ ?\\
Donner toutes les solutions de pgcd maximum.\\[0,5cm]
\exo \\[0,2cm]
Déterminer tous les entiers naturels non nuls $x$ tels que, en divisant $x$ par $42$ et $63$, on obtient le même reste $13$.\\[0,5cm]
\exo \\[0,5cm]
Déterminer les couples $(a,b)$ d'entiers naturels non nuls tels que pgcd$(a,b)$ + ppcm$(a,b) = b+9$.\\[0,5cm]
\exo 
\begin{enumerate}


\item[\textbf{1.}]
Montrer que pour tout entier $n$, le pgcd de $2n+8$ et $3n+15$ divise $6$.

\item[\textbf{2.}]
Déterminer tous les entiers $n$ tels que pgcd$(2n+8\, , \, 3n+15) = 6$.

\end{enumerate}

\noindent
\exo
\begin{enumerate}


\item[\textbf{1.}]
Quel est le plus petit entier naturel non nul pour lequel $A=x^2-2x+2$ est divisible par $17$ ?

\item[\textbf{2.}]
Montrer alors que $A$ est divisible par $17$ si et seulement si $(x-5)(x+3)$ est divisible par $17$.\\
En déduire alors les entiers naturels non nuls $x$ pour lesquels $A$ est divisible par $17$.

\end{enumerate}




\end{document}