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\chapter{Déterminant}
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\minitoc
\newpage


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\section{Groupe symétrique}
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$n$ désigne un entier au moins égal à 2.

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\subsection{Généralités}
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\begin{Df}[Permutation]\alaligne

 Une \emph{permutation} d'un ensemble $X$ est une bijection de
$X$ sur lui-même.
\end{Df}

\begin{Df}[Groupe symétrique]\alaligne

 $\sym$ désigne l'ensemble des permutations de $\Intf1n$; on
l'appelle le \emph{groupe symétrique} d'ordre $n$. Une
permutation $s\in\sym$ est notée
$$
s=
\begin{pmatrix}
 1&2&\dots&n-1&n\\
 s(1)&s(2)&\dots&s(n-1)&s(n)
\end{pmatrix}
$$
\end{Df}

\begin{Df}[Transposition]\alaligne

 La permutation qui échange $i$ et $j$ et laisse  les autres
éléments invariants est appelée \emph{transposition} et est notée
$\tau_{i,j}$. 
\end{Df}

\begin{Df}[Cycle]\alaligne

 Un \emph{cycle de longueur} $q$ $(q\leq n)$ est une permutation $c$ telle
qu'il existe un sous-ensemble à $q$ éléments de $\{a_1,\cdots,a_q\}$ vérifiant
$$
c(a_1)=a_2,\ c(a_2)=a_3,\ \dots\ ,c(a_{q-1})=a_q,\ c(a_q)=a_1
$$
les autres éléments restant invariants.
\end{Df}

\begin{Exs}\alaligne

 $\sym[2]$ contient deux éléments : la permutation identique et la
transposition qui échange 1 et 2. 

 Les six éléments de $\sym[3]$ sont 
\begin{itemize}
 \item la permutation identique : $e=
\begin{pmatrix} 1&2&3\\1&2&3 \end{pmatrix}$;
 \item trois transpositions :
$\tau_1 = \begin{pmatrix} 1&2&3\\1&3&2 \end{pmatrix}$,
$\tau_2 = \begin{pmatrix} 1&2&3\\3&2&1 \end{pmatrix}$ et
$\tau_3 = \begin{pmatrix} 1&2&3\\2&1&3 \end{pmatrix}$;
 \item deux cycles de longueur 3 :
$c_1 = \begin{pmatrix} 1&2&3\\2&3&1 \end{pmatrix}$ et
$c_2 = \begin{pmatrix} 1&2&3\\3&1&2 \end{pmatrix}$.
 \end{itemize}
\end{Exs}

\begin{Th}[Structure de groupe pour $\sym$]\alaligne

 Muni de la composition des applications, $\sym$ est un groupe de
cardinal $n!$ et non commutatif pour $n\geq 3$.
\end{Th}

\begin{proof}
 Rappelons qu'une structure de groupe nécessite une loi de
composition interne, associative, possédant un élément neutre et
un symétrique pour tout élément.
\begin{itemize}
 \item $(s_1,s_2)\mapsto s_1\circ s_2$ est une loi de
composition interne : la composée de deux bijections est une
bijection;
 \item la composition des applications est associative;
 \item l'identité de $\Intf1n$, que l'on note $e$, est une
permutation; c'est l'élément neutre pour la composition;
 \item si $s$ est une permutation, $s^{-1}$ en est une.
\end{itemize}

 $(\sym,\circ)$ est donc un groupe.
\end{proof}
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\begin{NBs}
 $\sym$ contient exactement $\binom n2$ transpositions.
 Toute transposition est une involution : $\tau\circ\tau=e$; une
transposition est un cycle de longueur 2.
\end{NBs}


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\subsection{Structure d'une permutation}
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\begin{Th}[Décomposition d'une permutation]\alaligne
 
Toute permutation de $\sym$ est un produit d'au plus $n$ transpositions.
\end{Th}

\begin{proof}
 Effectuons une récurrence sur $n$.\\
%
 $\sym[2]$ est un groupe à 2 éléments $\tau$ et $e=\tau\circ\tau$; la propriété
est donc vraie pour $n=2$.\\
%
 On suppose la propriété vraie au rang $n$. Soit $s\in\sym[n+1]$;
\begin{itemize}
 \item si $s(n+1)=n+1$, on note $s'$ la permutation induite par la
restriction de $s$ à $\Intf1n$; $s'$ est une permutation de
$\Intf1n$ et grâce à l'hypothèse de récurrence,
$s'=\tau'_1\circ\cdots\circ\tau'_k$ avec $k\leq n$, où les $\tau'_j$ sont des
transpositions de $\sym$.
 On pose $\tau_j(i)=\tau'_j(i)$ si
$i\in\Intf1n$ et $\tau_j(n+1)=n+1$; les $\tau_j$ sont des
transpositions de $\sym[n+1]$ et $s=\tau_1\circ\cdots\circ\tau_k$;

 \item si $s(n+1)=p\in\Intf1n$, $\tau_{p,n+1}\circ s$ est une
permutation qui laisse $n+1$ invariant et on retrouve le cas
précédent; on peut écrire que 
$\tau_{p,n+1}\circ s=\tau_1\circ\cdots\circ\tau_k$ avec $k\leq n$, et
$s=\tau_{p,n+1}\circ\tau_1\circ\cdots\circ\tau_k$
\end{itemize}

 Ainsi toute permutation $s\in\sym[n+1]$ est un produit d'au plus $n+1$
transpositions.

 Le théorème de récurrence montre que la propriété est vraie pour
tout $n$.
\end{proof}
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\begin{NB}[]\alaligne

 La décomposition en produit de transpositions n'est pas unique;
par exemple
$$
s=\begin{pmatrix} 1&2&3&4\\3&1&4&2 \end{pmatrix}
=\tau_{2,4}\circ\tau_{1,2}\circ\tau_{1,3}
=\tau_{1,3}\circ\tau_{3,4}\circ\tau_{2,4}
$$
\end{NB}



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\subsection{Signature d'une permutation}
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\begin{Df}[Signature]\alaligne

 Soit $s\in\sym$; on dit que le couple $(i,j)$ avec $i<j$,
présente une \emph{inversion} pour $s$ si $s(i)>s(j)$.
On note $I(s)$ le nombre d'inversions de $s$ et on appelle
\emph{signature de la permutation} $s$ le nombre
$\eps(s)\in\{-1,1\}$ défini par
$$
\eps(s)=(-1)^{I(s)}
$$
\end{Df}
%
La signature de l'identité est 1 : $\eps(e)=1$.

\begin{Th}[Signature d'une transposition]\alaligne

 La signature d'une transposition est $-1$.
\end{Th}

\begin{proof}
Soit $\tau$ la transposition qui échange $k$ et $l$, avec  $k<l$ :
$$
\setcounter{MaxMatrixCols}{15}
\tau=
\begin{pmatrix}
 1&2&\dots&k-1&k&k+1&\dots&l-1&l&l+1&\dots&n\\
 1&2&\dots&k-1&l&k+1&\dots&l-1&k&l+1&\dots&n
\end{pmatrix}
\setcounter{MaxMatrixCols}{10}
$$
Comptons le nombre d'inversions de $\tau$ :
\begin{itemize}
 \item les couples $(i,j)$ avec $i\in\Intf1{k-1}\cup\Intf ln$ et $i<j$
  ne présentent pas d'inversion;
 \item le couple $(k,j)$ avec $k<j$ présente une inversion si, et
seulement si, $j$ appartient à $\Intf{k+1}l$, ce qui fait $l-k$ inversion(s);
 \item si $i\in\Intf{k+1}{l-1}$ et $i<j$, $(i,j)$ présente une
inversion si, et seulement si, $j=l$, ce qui fait $l-1-k$ inversion(s).
\end{itemize}
ce qui donne $I(\tau)=(l-k)+(l-1-k)=2(l-k-1)+1$;
ce nombre est impair et $\eps(\tau)=(-1)^{I(\tau)}=-1$.
\end{proof}
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Considérons maintenant le produit
$$
V_n=\prod_{1\leq i<j\leq n}(j-i)
=\bigl[(2-1)\bigr]\times\bigl[(3-1)(3-2)\bigr]\times\cdots\times
 \bigl[(n-1)(n-2)\dots\bigl(n-(n-1)\bigr)\bigr]
$$
%
Pour $s\in\sym$, posons $s\cdot V_n=\prod_{1\leq i<j\leq n}
\bigl(s(j)-s(i)\bigr)$. Puisque $s$ est une bijection, les $\binom
n2$ facteurs de $V_n$ se retrouvent, au signe près, une et une seule
fois dans $s\cdot
V_n$ et $s\cdot V_n=(-1)^{I(s)}V_n=\eps(s)V_n$. Ainsi :

\begin{Prop}[Expression de la signature]\alaligne

La signature d'une permutation $s\in\sym$ est donnée par :
$\dsp\eps(s)=\prod_{1\leq i<j\leq n}\ra{s(j)-s(i)}{j-i}$
\end{Prop}
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\begin{Th}[Signature d'un produit de permutations]\alaligne

 $\eps$ est un morphisme du groupe $(\sym,\circ)$ sur le groupe
$\{1,-1\}$ muni de la multiplication, \ie
$$
\qqs(s_1,s_2)\in\sym^2,\ \eps(s_1\circ s_2)=\eps(s_1)\times\eps(s_2)
$$
\end{Th}

\begin{proof}
On a : $(s_1\circ s_2)\cdot V_n=s_1\cdot(s_2\cdot V_n)=\eps(s_1)
(s_2\cdot V_n)=\eps(s_1)\eps(s_2)V_n$. Puisque $(s_1\circ
s_2)\cdot V_n=\eps(s_1\circ s_2)V_n$, la formule annoncée est démontrée.
\end{proof}
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\begin{Cor}
 La signature d'une permutation produit de $p$ transpositions
est $(-1)^p$.
\end{Cor}



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\section{Applications multilinéaires}
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\subsection{Applications bilinéaires}
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\begin{Df}[Bilinéarité]\mbox{}
 Soient $E_1$, $E_2$ et $F$ trois $\K$-espaces vectoriels; une
application $f$ de $E_1\times E_2$ à valeurs dans $F$ est
\emph{bilinéaire} si
\begin{prop}
 \item pour tout $\vc x\in E_1$, l'application $\vc y\mapsto
f(\vc x,\vc y)$ est linéaire;
 \item pour tout $\vc y\in E_2$, l'application $\vc x\mapsto
f(\vc x,\vc y)$ est linéaire.
\end{prop}
Si $F=\K$, on parle de \emph{forme bilinéaire}.
\end{Df}

\begin{Exs}\alaligne

 Le produit scalaire est une forme bilinéaire sur
$\R^3\times\R^3$; le produit vectoriel est une application
bilinéaire de $\R^3\times\R^3$ sur $\R^3$.

 Soit $\mathcal{A}$ une $\K$-algèbre 
(par exemple $\K$, $\K[X]$, $\MnK$, $\LE$); les applications
$$
f_1 : (x,y)\mapsto x.y,\quad
f_2 : (x,y)\mapsto x.y+y.x,\quad
f_1 : (x,y)\mapsto x.y-y.x
$$
sont des applications bilinéaires de
$\mathcal{A}\times\mathcal{A}$ vers $\mathcal{A}$ (le démontrer).\\
Si $\mathcal{A}=\K$ ou $\K[X]$, $f_2=2f_1$ et $f_3=0$.\\
Si $\mathcal{A}=\MnK$ ou $\LE$, $f_3$ n'est pas l'application nulle.

 $\vphi : (f,g)\mapsto\int_a^b f(t)g(t)\,dt$ est une
forme bilinéaire sur $\CabE{\K}\times\CabE{\K}$.

 $\psi : (A,B)\mapsto\tr({}^tAB)$ est une forme bilinéaire
sur $\MnK\times\MnK$. 
\end{Exs}

\begin{Df}[Symétrie, antisymétrie, alternance]\alaligne

 Soient $E$ et $F$ deux $\K$-espaces vectoriels et $f$ une application
bilinéaire de $E\times E$ à valeurs dans $F$; on dit que
\begin{prop}
 \item $f$ est \emph{symétrique} si
$\qqs(\vc x,\vc y)\in E^2,\ f(\vc x,\vc y)=f(\vc y,\vc x)$;
 \item $f$ est \emph{antisymétrique} si
$\qqs(\vc x,\vc y)\in E^2,\ f(\vc x,\vc y)=-f(\vc y,\vc x)$;
 \item $f$ est \emph{alternée} si
$\qqs\vc x\in E,\ f(\vc x,\vc x)=\vc 0_F$;
\end{prop}
\end{Df}

\begin{Exs}\alaligne

 Le produit scalaire est symétrique, le produit
vectoriel est antisymétrique.

 $f_2$ est symétrique, $f_3$ est antisymétrique et
$f_1$ est symétrique si, et seulement si, $\mathcal{A}$ est une
algèbre \emph{commutative}.

 $\vphi$ est symétrique.

 $\psi$ est symétrique.
\end{Exs}

\begin{Th}[Antisymétrie et alternance]\alaligne

 Si $f$ est une application bilinéaire de $E\times E$ dans $F$,
$f$~est antisymétrique si, et seulement si, $f$ est alternée.
\end{Th}

\begin{proof}\alaligne

 \CN Pour tout $\vc x\in E$, $f(\vc x,\vc x)=-f(\vc x,\vc x)$
puisque $f$ est antisymétrique, donc $f(\vc x,\vc x)=\vc 0_F$.
 
 \CS Pour tout $(\vc x,\vc y)\in E^2$, on peut écrire
\begin{align*}
f(\vc x+\vc y,\vc x+\vc y)
& =\vc 0_F &\quad &\text{ puisque $f$ est alternée}            \\
& =f(\vc x,\vc x+\vc y)+f(\vc y,\vc x+\vc y)&&              \\
& =f(\vc x,\vc x)+f(\vc x,\vc y)+f(\vc y,\vc x)+f(\vc y,\vc y) &\quad
 &\text{ puisque $f$ est bilinéaire}                   \\
& =f(\vc x,\vc y)+f(\vc y,\vc x) &\quad &\text{ puisque $f$ est alternée} 
\end{align*}
ce qui montre que $f(\vc x,\vc y)=-f(\vc y,\vc x)$.
\end{proof}
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\subsection{Applications $p$-linéaires}
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$p$ désigne un entier au moins égal à 2.

\begin{Dfs}[Application et forme $p$-linéaires]\alaligne

 Soient $E$ et $F$ deux $\K$-espaces vectoriels; une application
$f$ de $E^p$ à valeurs dans $F$ est dite $p$-\emph{linéaire} si
elle est linéaire par rapport à chacune de ses variables, \ie{}
si pour tout $j\in\Intf1p$ et pour tout $\vc a_k\in E$,
$k\in\Intf 1p\setminus\{j\}$,  les applications
$$
\vc x\in E\mapsto f(\vc a_1,\dots,\vc a_{j-1},\vc x,\vc
a_{j+1},\dots,\vc a_p)\in F
$$
sont linéaires.

 L'ensemble des applications $p$-linéaires de $E$ dans $F$ est
noté $\LpEF$.

 Les applications $p$-linéaires de $E$ vers le corps des
scalaires $\K$ sont appelées \emph{formes $p$-linéaires} sur $E$.
\end{Dfs}

\begin{Exs}\alaligne

\begin{demprop}
 \monitem Si $\vphi_1$,\dots,$\vphi_p$ sont des formes linéaires sur $E$,
l'application
$$
f : \Nuple{\vc x}p\in E^p\mapsto
\vphi_1(\vc x_1)\times\cdots\times\vphi_p(\vc x_p)
$$
est une forme $p$-linéaire sur $E$.

 \monitem L'application déterminant
$$
(\vc x,\vc y)\in\K^2\times\K^2\mapsto
\begin{vmatrix}
 x_1&y_1 \\ x_2&y_2
\end{vmatrix}
=x_1y_2-x_2y_1
$$
est une forme 2-linéaire (ou bilinéaire) sur $\K^2$.

 \monitem L'application déterminant
\begin{multline*}
(\vc x,\vc y,\vc z)\in\K^3\times\K^3\times\K^3\mapsto
\begin{vmatrix}
 x_1&y_1&z_1 \\ x_2&y_2&z_2 \\ x_3&y_3&z_3
\end{vmatrix}                             \\
=(x_1y_2z_3+x_2y_3z_1+x_3y_1z_2)-(x_3y_2z_1+x_1y_3z_2+x_2y_1z_3)
\end{multline*}
est une forme 3-linéaire (ou trilinéaire) sur $\K^3$.
\end{demprop}
\end{Exs}

\begin{Prop}\alaligne

\begin{prop}
 \item L'application nulle de $E^p$ vers $F$ est à la fois
$p$-linéaire et linéaire.
 \item Si $f$ est une application $p$-linéaire de $E$ dans $F$,
et si l'un des vecteurs $\vc x_i$ est nul, le vecteur
$f(\vc x_1,\dots,\vc x_p)$ est nul.
 \item $\LpEF$ est un $\K$-espace vectoriel.
\end{prop}
\end{Prop}

\begin{proof}\alaligne

\begin{demprop}
\setcounter{numdemprop}{1}
 \monitem $f$ est une application linéaire par rapport à sa
$i$\fup{e} variable, et l'image de $\vc 0_E$ par une application
linéaire est $\vc 0_F$.
 \monitem $\LpEF$ est un sous-espace vectoriel de l'espace de
toutes les applications de~$E^p$ vers $F$.
\end{demprop}
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Dfs}[Symétrie, antisymétrie et alternance]\alaligne

 Soient $E$ et $F$ deux $\K$-espaces vectoriels et $f$ une
application $p$-linéaire sur $E$ à valeurs dans $F$; on dit que
\begin{itemize}
 \item $f$ est \emph{symétrique} si
$\qqs(\vc x_1,\ldots,\vc x_p)\in E^p,\ \qqs(i,j)\in\Intf1p,$
$$
i<j\implique f(\ldots,\vc x_i,\ldots,\vc x_j,\ldots)=
 f(\ldots,\vc x_j,\ldots,\vc x_i,\ldots)
$$
 \item $f$ est \emph{antisymétrique} si
$\qqs(\vc x_1,\ldots,\vc x_p)\in E^p,\ \qqs(i,j)\in\Intf1p,$
$$
i<j\implique f(\ldots,\vc x_i,\ldots,\vc x_j,\ldots)=
 -f(\ldots,\vc x_j,\ldots,\vc x_i,\ldots)
$$
 \item $f$ est \emph{alternée} si
$\qqs(\vc x_1,\ldots,\vc x_p)\in E^p,\ \qqs(i,j)\in\Intf1p,$
$$
i<j\et \vc x_i=\vc x_j\implique
 f(\ldots,\vc x_i,\ldots,\vc x_j,\ldots)=\vc 0_F
$$
\end{itemize}
\end{Dfs}
%--------------------------------------------------

\begin{Exs} Reprenons les exemples précédents.
\begin{demprop}
 \monitem $f$ est symétrique
 \monitem et
\addtocounter{numdemprop}{1}{\textit{\roman{numdemprop}}.} Les
déterminants sont antisymétriques et alternés. Pourquoi?
\end{demprop}
\end{Exs}

\begin{Prop}[]\mbox{}
L'ensemble des applications $n$-linéaires symétriques et
l'ensemble des applications $n$-linéaires alternées de $E$ à
valeurs dans $F$ sont des
sous-espaces vectoriels de $\LpEF$.

\end{Prop}

\begin{proof}\alaligne

\begin{verse}
 Prenez vos ardoises et vos crayons.\\
 Écrivez-moi cette démonstration.
\end{verse}
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Th}[Symétrie et permutation]\alaligne

 Soit $f$ une application $p$-linéaire  de $E$ vers $F$; les
propriétés suivantes sont équivalentes :
\begin{prop}
 \item $f$ est symétrique;
 \item pour toute permutation $s\in\sym[p]$ et tout
$(\vc x_1,\dots,\vc x_p)\in E^p$
$$
f(\vc x_{s(1)},\dots,\vc x_{s(p)})=f(\vc x_1,\dots,\vc x_p)
$$
\end{prop}
\end{Th}

\begin{proof}\alaligne

 \CS La transposition $\tau_{i,j}\in\sym[p]$ qui échange $i$ et $j$ donne
la symétrie.

 \CN La symétrie montre que la propriété est vraie pour toute
transposition, et, puisqu'une permutation est un produit de
transpositions, une récurrence sur le nombre de transpositions
montre le résultat.
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Th}[Antisymétrie, alternance et permutation]\alaligne

 Soit $f$ une application $p$-linéaire  de $E$ vers $F$; les
propriétés suivantes sont équivalentes :
\begin{prop}
 \item $f$ est alternée;
 \item $f$ est antisymétrique;
 \item pour toute permutation $s\in\sym[p]$ et tout
$(\vc x_1,\dots,\vc x_p)\in E^p$
$$
f(\vc x_{s(1)},\dots,\vc x_{s(p)})=\eps(s)f(\vc x_1,\dots,\vc x_p)
$$
\end{prop}
\end{Th}

\begin{proof}\alaligne

 \makebox[1em][r]{\textit{i}.$\iff$\textit{ii}.}
Soient $1\leq i<j\leq p$ et l'application
$$
g_{i,j} : (\vc x_i,\vc x_j)\in E^2\mapsto
f(\dots,\vc x_i,\dots,\vc x_j,\dots)
$$
$g_{i,j}$ est bilinéaire puisque $f$ est $p$-linéaire; donc
$g_{i,j}$ est antisymétrique si, et seulement si, $g_{i,j}$ est
alternée, ce qui montre l'équivalence.

 \makebox[1em][r]{\textit{iii}.\ $\Longleftarrow$\ \textit{ii}.}
Il suffit de prendre une transposition et $f$ est antisymétrique
puisque la signature d'une transposition est $-1$.

 \makebox[1em][r]{\textit{ii}.\ $\Longrightarrow$\ \textit{iii}.}
La formule est vraie pour les transpositions. Puisque toute
permutation $s\in\sym[p]$ se décompose en un produit de transpositions
$s=\tau_1\circ\cdots\circ\tau_k$ et puisque la signature de $s$
vaut $(-1)^k$, une récurrence, sur le nombre $k$ de transpositions,
achève la démonstration. 
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Th}[Règle de calcul]\alaligne

 On ne change pas la valeur prise par une application $p$-linéaire
alternée  sur un $p$-uple de $E^p$ en
ajoutant à l'un des vecteurs une combinaison linéaire des
\emph{autres vecteurs}.

 En particulier, toute application $p$-linéaire alternée prend
la valeur $\vc 0_F$ sur tout $p$-uple qui constitue une famille liée.
\end{Th}

\begin{proof}
 Soit $f$ une application $p$-linéaire alternée sur $E$.
 En ajoutant la combinaison linéaire $\sum_{j\neq k}\lambda_j
\vc x_j$ au vecteur $\vc x_k$, on obtient
\begin{align*}
f(\dots,\vc x_k+\sum_{j\neq k}\lambda_j\vc x_j,\dots)
 &=f(\dots,\vc x_k,\dots)
  +\sum_{j\neq k}\lambda_j f(\dots,\vc x_j,\dots,\vc x_j,\dots)          \\
 &=f(\dots,\vc x_k,\dots)\qquad\hfill\text{ car $f$ est alternée}
\end{align*}

 Si la famille $\Nuple{\vc x}p$ est liée, l'un des vecteurs, par
exemple $\vc x_k$, est combinaison des autres vecteurs, et
$$
f(\dots,\vc x_k,\dots)=f(\dots,\sum_{j\neq k}\lambda_j\vc x_j,\dots)
=\sum_{j\neq k}\lambda_j f(\dots,\vc x_j,\dots,\vc x_j,\dots)
=\vc0_F
$$
puisque $f$ est alternée.
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{NBs}\alaligne

 Si $E$ est un espace vectoriel de dimension finie, la seule
application $p$-linéaire alternée, avec $p>\dim E$, est
l'application nulle, car, dans ce cas, toute famille de $p$
vecteurs est liée. Les seuls cas intéressants sont ceux où
$p\leq\dim E$. Le programme nous demande d'étudier le cas où
$p=\dim E=n$.

 Soient $E$ un espace vectoriel de dimension 2,
$\mathcal{B}=(\vc e_1,\vc e_2)$ une base de $E$ et $f$ une
application bilinéaire alternée sur $E$. Décomposons $\vc
x=x_1\vc e_1+x_2\vc e_2$ et $\vc y=y_1\vc e_1+y_2\vc e_2$ sur la
base $\mathcal{B}$. On obtient :
\begin{align*}
f(\vc x,\vc y)
 &= x_1y_1 f(\vc e_1,\vc e_1) + x_1y_2 f(\vc e_1,\vc e_2)
  + x_2y_1 f(\vc e_2,\vc e_1) + x_2y_2 f(\vc e_2,\vc e_2)      \\
 &= (x_1y_2-x_2y_1)f(\vc e_1,\vc e_2)\quad\text{ car $f$ est alternée}\\
 &=\begin{vmatrix}x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{vmatrix}
  f(\vc e_1,\vc e_2)
\end{align*}
et on retrouve le déterminant des deux vecteurs $\vc x$ et $\vc
y$ dans la base $\mathcal{B}$.

Envisageons le cas d'un espace vectoriel $E$ de dimension 3, muni
d'une base $\mathcal{B}=(\vc e_1,\vc e_2,\vc e_3)$. Si $f$ est une
application trilinéaire alternée  sur $E$,
on obtient, de manière analogue en ne notant que les termes non nuls :
\begin{align*}
f(\vc x&,\vc y,\vc z) = x_1y_2z_3 f(\vc e_1,\vc e_2,\vc e_3) +
  x_1y_3z_2 f(\vc e_3,\vc e_3\vc e_2)
   + x_2y_1z_3f(\vc e_2,\vc e_1,\vc e_3)              \\
 &\phantom{,\vc y,\vc z) =}
   + x_2y_3z_1 f(\vc e_2,\vc e_3,\vc e_1)
    + x_3y_1z_2 f(\vc e_3,\vc e_1,\vc e_2)
   + x_3y_2z_1 f(\vc e_3,\vc e_2,\vc e_1)              \\
 &=\bigl((x_1y_2z_3+x_2y_3z_1+x_3y_1z_2)-
     (x_3y_2z_1+x_1y_3z_2+x_2y_1z_3)\bigr)
  f(\vc e_1,\vc e_2,\vc e_3)                    \\
 &=\begin{vmatrix} x_1&y_1&z_1 \\ x_2&y_2&z_2 \\ x_3&y_3&z_3
  \end{vmatrix} f(\vc e_1,\vc e_2,\vc e_3)
\end{align*}
On retrouve le déterminant des trois vecteurs $\vc x$, $\vc y$
et $\vc z$ dans la base $\mathcal{B}$.
\end{NBs}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Déterminant de $n$ vecteurs}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Dans cette section, $E$ désigne un $\K$-espace vectoriel de
dimension finie~$n$, muni d'une base $\mathcal{B}=(\vc
e_1,\dots,\vc e_n)$; la base duale $\mcal{B}^*=\nuple{\vphi}$
est définie par $\vphi_i(\vc x)=x_i$ la coordonnée de rang $i$
relative à $\mcal{B}$. Nous étudions l'ensemble $\Lambda_n^*(E)$
des \emph{formes $n$-linéaires alternées} définies sur $E$ et $f$
désigne une telle forme.

%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Déterminant de $n$ vecteurs dans la base
$\mathcal{B}$}
%---------------------------------------------------------------------

 Soit $\nuple{\vc x}\in E^n$; les composantes de $\vc x_j$ dans
$\mcal{B}$ sont notées $a_{i,j}$ et pour $f\in\Lambda_n^*(E)$, on écrit
\begin{align*}
f\nuple{\vc x}
 &=f\Bigl(\sum_{i_1=1}^n a_{i_1,1}\vc e_{i_1},\vc x_2,\dots,\vc x_n\Bigr)   \\
 &=\sum_{i_1=1}^n a_{i_1,1} f(\vc e_{i_1},\vc x_2,\dots,\vc x_n)
  \quad\text{ linéarité de $f$ par rapport à $\vc x_1$}       \\
 &=\sum_{1\leq i_1,\dots,i_n\leq n}a_{i_1,1}\dots a_{i_n,n}
  f(\vc e_{i_1},\dots,\vc e_{i_n})
  \quad\text{$n$-linéarité de $f$}
\end{align*}
Étant donnés $(i_1,\dots,i_n)\in\Intf1n^n$, on pose $s(k)=i_k$
pour $k\in\Intf1n$. Si $s$ n'est pas injective, deux vecteurs
$\vc e_{s(k)}$ sont égaux et, puisque que $f$ est alternée,
$$
f(\vc e_{i_1},\dots,\vc e_{i_n})=f(\vc e_{s(1)},\dots,\vc e_{s(n)})=0
$$ 
Sinon $s$ est bijective et appartient à $\sym$, et
$$
f(\vc e_{i_1},\ldots,\vc e_{i_n})=f(\vc e_{s(1)},\ldots,\vc e_{s(n)})=
\eps(s) f(\vc e_1,\ldots,\vc e_n)
$$
Ainsi
\begin{align*}
f\nuple{\vc x}
 &=\sum_{1\leq i_1,\dots,i_n\leq n}a_{i_1,1}\dots a_{i_n,n}
  f(\vc e_{i_1},\dots,\vc e_{i_n})                 \\
 &=\sum_{s\in\sym} a_{s(1),1}\dots a_{s(n),n}
  f(\vc e_{s(1)},\dots,\vc e_{s(n)})                \\
 &=\Bigl(\sum_{s\in\sym} \eps(s) a_{s(1),1}\dots a_{s(n),n}\Bigr)
  f(\vc e_1,\dots,\vc e_n)                     \\
 &=\Bigl(\sum_{s\in\sym}\eps(s)\prod_{j=1}^n a_{s(j),j}\Bigr)
  f(\vc e_1,\dots,\vc e_n)
\end{align*}
 Posons $i=s(j)$ soit $j=s^{-1}(i)$;
on obtient $\prod_{j=1}^n a_{s(j),j}=\prod_{i=1}^n
a_{i,s^{-1}(i)}$; comme l'application $s\to s^{-1}$ est une
bijection de $\sym$ (c'est même une involution) et
$\eps(s^{-1})=\eps(s)^{-1}=\eps(s)$, on peut écrire, en effectuant
le changement d'indice de sommation $\sigma=s^{-1}$
$$
\sum_{s\in\sym}\eps(s)\prod_{j=1}^n a_{s(j),j}
=\sum_{s\in\sym}\eps(s^{-1})\prod_{i=1}^n a_{i,s^{-1}(i)}
=\sum_{\sigma\in\sym}\eps(\sigma)\prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}
$$

\begin{Df}[Déterminant de $n$ vecteurs dans une base]\alaligne

Soient $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension finie $n$ et
$\mcal{B}=\nuple{\vc e}$ une base de $E$; on appelle
\emph{déterminant dans la base $\mcal{B}$} et l'on note $\Det$, l'unique
forme 
$n$-linéaire alternée sur $E$ qui prend la valeur 1 sur $\mcal{B}$.

Si pour tout $j\in\Intf1n$, $\vc x_j=\sum_{i=1}^n a_{i,j}\vc
e_i$, le scalaire $\det\nuple{\vc x}$, appelé \emph{déterminant
dans la base $\mcal{B}$ du $n$-uple $\nuple{\vc x}\in E^n$},
admet deux expressions
\begin{equation}\label{eq\DP det}
 \Det\nuple{\vc x}=\sum_{s\in\sym}\eps(s)\prod_{j=1}^n a_{s(j),j}
  =\sum_{s\in\sym}\eps(s)\prod_{i=1}^n a_{i,s(i)}
\end{equation}
\end{Df}

\begin{proof}
 L'essentiel a été vu avant l'énoncé du théorème; reste à prouver
l'existence de ce gros machin.

 En utilisant les éléments $\vphi_i$ de la base duale, on obtient
$$
\prod_{j=1}^n a_{s(j),j}=\prod_{j=1}^n \vphi_{s(j)}(\vc x_j)
=\vphi_{s(1)}(\vc x_1)\times\dots\times\vphi_{s(n)}(\vc x_n)
$$
ce qui montre la $n$-linéarité de ces produits par rapport à
$\nuple{\vc x}$ et la $n$-linéarité de $\det B$ par combinaison
linéaire.

 Soit $\tau$ une transposition de $\sym$; comme $s\to s\circ\tau$
est une bijection de $\sym$ (c'est même une involution) et puisque
$\eps(s\circ\tau)=\eps(s)\eps(\tau)=-\eps(s)$, on peut écrire
\begin{align*}
\Det(\vc x_{\tau(1)},\dots,\vc x_{\tau(n)})
& = \sum_{s\in\sym}\eps(s)\prod_{i=1}^n a_{i,s(\tau(i))}
  = \sum_{s\in\sym}-\eps(s\circ\tau)\prod_{i=1}^n a_{i,s(\tau(i))}  \\
& = -\sum_{\sigma\in\sym}\eps(\sigma)\prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}
\end{align*}
en utilisant le changement d'indice $\sigma=s\circ\tau$.
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Th}[Dimension de $\Lambda_n^*(E)$]\alaligne

 L'espace vectoriel $\Lambda_n^*(E)$ des formes $n$-linéaires
alternées sur un espace vectoriel $E$ de dimension $n$ est de
dimension $1$; il admet
pour base $(\Det)$ et
\begin{equation}\label{eq\DP nLinAlt}
\qqs f\in\Lambda_n^*(E),\ f=f\nuple{\vc e}\Det=f(\mcal{B})\Det
\end{equation}
\end{Th}
%--------------------------------------------------

\begin{Th}[Déterminant d'un système triangulaire de vecteurs]\alaligne

 Si chaque vecteur $\vc x_j$ est combinaison linéaire des vecteurs
$\Nuple{\vc e}{j}$, autrement dit, si $a_{i,j}=0$ pour $i>j$,
\begin{equation}\label{eq\DP DetSysTri}
\Det\nuple{\vc x}=
\begin{vmatrix}
 a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \\
 0    & a_{2,2} & \dots & a_{2,n} \\
 \hdotsfor[2]{4}           \\
 0    & 0    & \dots & a_{n,n}
\end{vmatrix}
=\prod_{i=1}^n a_{i,i} 
\end{equation}
\end{Th}

\begin{proof}
 Soit $s\in\sym$ telle qu'il existe $j_0$ avec $s(j_0)>j_0$;
alors  $a_{s(j_0),j_0}=0$ et $\prod_{j=1}^n a_{s(j),j}=0$.
Dans la somme qui définit $\det\nuple{\vc x}$, seuls les
permutations $s$
pour lesquelles $s(j)\leq j$ pour tout $j\in\Intf1n$ peuvent
données un produit non nul, ce qui impose à $s$ d'être la permutation
identique et donne le résultat.
\end{proof}
%--------------------------------------------------

%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Caractérisation des bases}
%---------------------------------------------------------------------
\begin{Th}[Passage d'une base à une autre]\alaligne

Si $\mcal{B}$ et $\mcal{B}'$ sont deux bases de $E$ et
$\mcal{V}$ un $n$-uple de $E^n$, on a
\begin{gather}
\Det(\mcal{B}')\times\Det[B'](\mcal{B})=1    \\
\Det[B'](\mcal{V})=\Det[B'](\mcal{B})\times
\Det(\mcal{V})
\end{gather}
\end{Th}

\begin{proof}
$\Det[B']$ est une forme $n$-linéaire alternée à qui on
applique la formule \ref{eq\DP nLinAlt}, soit
$$
\Det[B']=\Det[B'](\mcal{B})\Det
$$
En prenant la valeur de ces expressions en $\mcal{B}'$ et en
$\mcal{V}$, on obtient les résultats.
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Th}[Caractérisation des bases]\alaligne

Si $\mcal{V}=\nuple{\vc v}$ est une famille de $n$ vecteurs d'un
espace vectoriel de dimension $n$ et si $\mcal{B}$ est une base de $E$,
\Reponse{$
\mcal{V} \text{ est une base de $E$}\iff\Det(\mcal{V})\neq 0
$}
\end{Th}

\begin{proof}\alaligne

\CN
Si $\mcal{V}$ est une base de $E$, $\Det(\mcal{V})$ n'est pas
nul, car
$\Det(\mcal{V})\times\Det[V](\mcal{B})=1$.

\CS
Par contraposée; si $\mcal{V}$ n'est pas une base de $E$,
$\mcal{V}$ est une famille liée ($\mcal{V}$ est maximale) et donc
$\Det(\mcal{V})=0$ (image d'une famille liée par une forme
$n$-linéaire alternée).
\end{proof}
%--------------------------------------------------
\begin{Exs}\alaligne

\begin{demprop}
 \monitem $(1,j)$ est une base du $\R$-espace vectoriel $\C$.\\
On note $\mcal{B}=(1,i)$ la base canonique du $\R$-espace
vectoriel $\C$ et
$$
\Det(1,j)=
\begin{vmatrix} 1 & -\ra12 \\ 0 & \ra{\sqrt3}2 \end{vmatrix}
=\ra{\sqrt3}2\neq0
$$

 \monitem Toute famille de $(n+1)$ polynômes de $\K_n[X]$ et échelonnés
en degré est une base de $\K_n[X]$.\\
On note $\mcal{B}=(1,X,\dots,X^n)$ la base canonique de
$\K_n[X]$; si $P_k$ est un polynôme de degré $k\leq n$, on pose
$P_k=\sum_{i=0}^k a_{i,k}X^i$ avec $a_{k,k}\neq0$; la famille
$(P_0,P_1,\dots,P_n)$ est un système triangulaire de vecteurs et
la formule \eqref{eq\DP DetSysTri} donne
$$
\Det(P_0,P_1,\dots,P_n)=\prod_{k=0}^n a_{k,k}\neq0
$$
\end{demprop}

\end{Exs}


%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Orientation d'un $\R$-espace vectoriel}
%---------------------------------------------------------------------
 Dans ce paragraphe, $E$ est un espace vectoriel réel; on
ne peut orienter que des espaces sur le corps des réels.

\begin{Df}[Orientation de deux bases]\alaligne

 Deux bases ordonnées $\mcal{B}$ et $\mcal{B'}$ du même
$\R$-espace vectoriel $E$ ont \emph{même orientation} si
$$
\Det(\mcal{B'})>0
$$
\end{Df}
%
 Cette propriété définit une relation d'équivalence sur les bases de
$E$ :

\begin{itemize}
 \item \emph{réflexivité} : $\Det(\mcal{B})=1>0$;
 \item \emph{symétrie} : $\Det(\mcal{B'})>0$
  implique $\Det[B'](\mcal{B})=
  \bigl(\Det(\mcal{B'})\bigr)^{-1}>0$
 \item \emph{transitivité} : $\Det(\mcal{B'})>0$
  et $\Det[B'](\mcal{B''})>0$ implique
  $\Det(\mcal{B''})=\Det(\mcal{B'})\times
  \Det[B'](\mcal{B''})>0$
\end{itemize}

 Une base $\mcal{C}$ de $E$ étant choisie, cette relation
d'équivalence définit une partition de l'ensembles des bases de
$E$ en deux classes : $\mcal{C}^+$ et $\mcal{C}^-$ :

\begin{itemize}
 \item $\mcal{C}^+$ est l'ensemble des bases $\mcal{B}$ de $E$ de même
orientation que $\mcal{C}$ : $\Det[C](\mcal{B})>0$;
 \item $\mcal{C}^-$ est l'ensemble des bases $\mcal{B}$ de $E$ ayant
l'orientation opposée à celle de $\mcal{C}$ :
$\Det[C](\mcal{B})<0$.
\end{itemize}

 Choisir une de ces classes, c'est, par définition, orienter
l'espace vectoriel réel $E$ : toutes les bases appartenant à
cette classe sont appelées \emph{directes} ou \emph{positivement
orientées}, les bases appartenant à l'autre classe sont appelées
\emph{indirectes}, \emph{rétrogrades} ou \emph{négativement orientées}.

 Dans $\R^2$, on décide que la base canonique $(\vc e_1,\vc
e_2)$ est directe et que la base $(\vc e_2,\vc e_1)$ est rétrograde.
 
 Dans $\R^3$, on décide que la base canonique $(\vc e_1,\vc
e_2,\vc e_3)$ est directe; les bases $(\vc e_2,\vc e_3,\vc e_1)$
et 
$(\vc e_3,\vc e_1,\vc e_2)$ sont directes; les bases $(\vc
e_1,\vc e_3,\vc e_2)$, $(\vc e_2,\vc e_1,\vc e_3)$ et $(-\vc
e_1,\vc e_2,\vc e_3)$ sont rétrogrades (utilisez un calcul de
déterminant ou un petit coup de tire-bouchon, technique bien
connue de tous les amateurs de physique,\dots{} et de bon vin).



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Déterminant d'un endomorphisme}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 Soient $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension finie $n>0$ muni
d'une base $\mcal{B}=(\vc e_1,\ldots,\vc e_n)$ et
$u$ un endomorphisme de $E$. À  toute 
forme $n$-linéaire alternée $f$ sur $E$, on associe l'application
$\vphi_u(f)$ définie par :
\begin{equation}
 \vphi_u(f) : \nuple{\vc x}\in E^n\mapsto
  f\bigl(u(\vc x_1),\ldots,u(\vc x_n)\bigr)\in\K 
\end{equation}
 L'application
$\vphi_u(f)$ est une forme $n$-linéaire, car $u$ est
linéaire et $f$ est $n$-linéaire alternée. D'autre
part, l'application $\vphi_u : f\mapsto\vphi_u(f)$ est linéaire;
$\vphi_u$ est donc un endomorphisme de la droite vectorielle
$\Lambda_n^*(E)$, donc une homothétie, ce qui donne le

\begin{Lem}
 Si $u$ est un endomorphisme d'un $\K$-espace vectoriel $E$ de
dimension finie $n$, il existe un unique scalaire $\lambda$ tel que
\begin{equation}\label{eq\DP DetEndo}
\qqs f\in\Lambda_n^*(E),\ \qqs\nuple{\vc x},\
f\bigl(u(\vc x_1),\ldots,u(\vc x_n)\bigr)=\lambda
f\nuple{\vc x}
\end{equation}
\end{Lem}

\begin{Df}[Déterminant d'un endomorphisme]\alaligne 

 Ce scalaire est appelé \emph{déterminant} de $u$ et noté $\det u$.
\end{Df}

\begin{Cor}[Expression du déterminant d'un endomorphisme]\alaligne

Si $\mcal{B}$ est une base (quelconque) de $E$, le déterminant de
$u$ se calcule par
\Reponse{$
\det u=\Det\bigl(u(\vc e_1),\ldots,u(\vc e_n)\bigr)
$} 
\end{Cor}

\begin{proof}
On utilise $f=\Det$ et $\nuple{\vc x}=\nuple{\vc e}=\mcal{B}$
dans la formule \eqref{eq\DP DetEndo}. 
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{NB}
 L'expression du déterminant dans la formule précédente, est indépendante de la 
base $\mcal{B}$ choisie.
\end{NB}

\begin{Th}[Propriétés du déterminant d'un endomorphisme]\alaligne
\label{th\DP PropDetEndo}

 Si $E$ est un $\K$-espace vectoriel de dimension $n$, on a
\begin{prop}
 \item $\det I_E=1$;
 \item $\qqs u\in\LE,\ \qqs\lambda\in\K,\
  \det(\la u)=\la^n\det(u)$;
 \item $\qqs(u,v)\in\LE^2,\ \det(u\circ v)=\det u\times\det v$.
\end{prop}
\end{Th}

\begin{proof}
 Utilisons l'expression du déterminant d'un endomorphisme relativement à une
base;
\begin{demprop}
 \monitem $\det(I_E)=\Det(\mcal{B})=1$;
 \monitem $\det (\la u)=
  \Det\bigl(\la u(\vc e_1),\ldots,\la u(\vc e_n)\bigr)=
  \la^n\det\bigl(u(\vc e_1),\ldots,u(\vc e_n)\bigr)=
  \la^n\det u$;
 \monitem la formule \eqref{eq\DP DetEndo} appliquée à $f=\Det$ et
$\nuple{\vc x}=\bigl(v(\vc e_1),\ldots,v(\vc e_n)\bigr)$ donne
$$
\det(u\circ v)=
 \Det\Bigl(u\bigl(v(\vc e_1)\bigr),\ldots,u\bigl(v(\vc e_n)\bigr)\Bigr)
=\det u\,\Det\bigl(v(\vc e_1),\ldots,v(\vc e_n)\bigr)=
 \det u\,\det v
$$
\end{demprop}
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{NB}
 En général, $\det(u+v)$ est différent de $\det u+\det v$.
Donnons un exemple : si $n\geq 2$,
$\det(I_E+I_E)=\det(2I_E)=2^n\neq\det I_E+\det I_E=2$.
\end{NB}


\begin{Th}[Caractérisation des automorphismes]\alaligne
\label{th\DP DetAuto}

 Soit $u$ est u