Suivante : Troisième partie Monter : cgm2001 Précédente : Première partie

Deuxième partie

Dans cette partie et les suivantes, un trio $(a,b,c)$ est dit rationnel lorsque $a,b$ et $c$ sont des nombres rationnels (éléments de l'ensemble $\mathbf{Q}$) ; Il est dit entier, lorsque $a,b$ et $c$ sont des nombres entiers relatifs (éléments de l'ensemble $\mathbf{Z}$) ; enfin un trio entier est dit primitif si $a,b$ et $c$ n'admettent que $1$ et $-1$ comme diviseurs communs.

1. Déterminer la nature de l'ensemble $H_1$ des points de coordonnées $(x,y,1)$ tels que $(x,y,1)$ soit un trio. Montrer que le point $\Omega_1$ de coordonnées $(-1,-1,1)$ est un centre de symétrie de $H_1$. Quels sont les points de $H_1$ à coordonnées entières ?
2. Pour tout entier naturel non nul $h$, on note $Z_h$ l'ensemble des trios entiers $(a,b,c)$ tels que $c=h$. Déterminer $Z_h$ pour $h=1$ et $h=2$.
3. Montrer que $Z_h$ est un ensemble fini et exprimer le nombre $N(h)$ de ses éléments en fonction de celui des diviseurs de $h^2$ dans $\mathbf{Z}$. Montrer que $4$ divise $N(h)-2$.
4. Pour tout entier naturel non nul $h$, on note $N'(h)$ le nombre des trios entiers $(a,b,c)$ tels que l'un au moins des entiers $a,b$ ou $c$ soit égal à $h$? Exprimer $N'(h)$ en fonction de $N(h)$ selon la parité de $h$.
5. Montrer qu'à tout trio entier $(a,b,c)$ on peut associer un triplet $(r,s,t)$ d'entiers tels que $r$ et $s$ soient premiers entre eux, $s$ positif ou nul et tels que l'on ait : $a=r(r+s)t$, $b=s(r+s)t$, $c=-rst$.
   Énoncer et démontrer une réciproque. Pour quels trios $(a,,c)$ le triplet $(r,s,t)$ n'est-il pas unique ?
6. Déterminer les triplets $(r,s,t)$ ainsi associés aux trios primitifs. En déduire que si $(a,b,c)$ est un trio primitif, alors $\vert abc\vert,\ \vert a+b\vert,\ \vert b+c\vert$, et $\vert c+a\vert$ sont des carrés d'entiers.
7. pour tout entier naturel non nul $h$, on note $P(h)$ le nombre de trios primitifs $(a,b,c)$ tels que $c=h$. Montrer que $P(h)$ est une puissance de $2$. Pour quels entiers $h$ a-t-on $P(h)=N(h)$ ? Expliciter une suite d'entiers $(h_n)$ tels que la suite $\left(\frac {P(h_n)}{H(h_n)}\right)$ converge vers zéro.
8. Soit $(a,b,1)$ un trio. Montrer qu'il existe deux suites $(x_n)$ et $(y_n)$ convergeant respectivement vers $a$ et $b$ et telles que pour tout $n$, $(x_n,y_n,1)$ soit un trio rationnel.
9. Soit $(a,b,c)$ un trio réduit. Montrer qu'il existe trois suites $(x_n),\ (y_n)$ et $(z_n)$ convergeant respectivement vers $a,b$ et $c$ et telles que pour tout $n$, $(x_n,y_n,z_n)$ soit un trio rationnel réduit.

Suivante : Troisième partie Monter : cgm2001 Précédente : Première partie