%TITRE:Olympiades de Mathématiques 2002
%DATE:30 mars 2002
%KEYWORDS:Olympiades, mathématiques, Poitiers

%DMP:phyllo
path p; 
nbor := (sqrt(5)+1)/2 ; 
psi := 137.8 ; 
iter := 1000 ; 
c := 3 ; 
r := 0; 
for i=iter downto 0: 
 t := sqrt(i) ; 
 r := (r + psi) mod 360; 
 cv:= cosd((i/iter)*90); 
 p := ((0,0)--(t,1)--(t+1,0)--(t,-1)-- cycle) rotated r; 
 fill p scaled c withcolor (1,cv,0.5); 
 draw p scaled c; 
endfor;
%FMP:

%P:
%T:Panneau
\begin{center}
\Huge
\textbf{Olympiades de mathématiques}\\
\Large Classe de Première
%I:phyllo
\large
\textsf{Académie de Poitiers}\\
\textit{27 mars 2002}
\end{center}
%Z:

%P:
%T:Panneau
\textbf{EXERCICE 1}\\[1mm]
Des fourmis se déplacent, en ligne droite, à la queue leu leu, à vitesse constante,
en formant une colonne de $50$ cm de long.\\
La dernière fourmi du groupe décide d'aller ravitailler la fourmi chef et pour cela
rejoint la t\^ete de la colonne puis, sa mission étant accomplie, retourne aussit\^ot
à la queue de la colonne.\\
Sachant que, pendant cet aller-retour, la vitesse de cette fourmi est restée constante
et que la colonne a parcouru $50$ cm, quelle est la distance parcourue par la fourmi
ravitailleuse ?
%Z:

%P:
%T:Panneau
\textbf{EXERCICE 2} [sujet académique]\\[1mm]
Soit un carré $ABCD$ de c\^oté $a$. Un cercle $\Gamma$, intérieur au carré, est tangent 
à $(AB)$ et $(AD)$. Un second cercle $\Gamma'$, intérieur au carré, est tangent
extérieurement à $\Gamma$ ainsi qu'aux droites $(CB)$ et $(CD)$.\\
Soit $S$ la somme des aires des cercles $\Gamma$ et $\Gamma'$ : quelles sont les
valeurs maximale et minimale de $S$ ?
%Z:

%P:
%T:Panneau
\textbf{EXERCICE 3}\\[1mm]
$10$ personnes sont assises autour d'une table ronde.\\
$10$ jetons portant les numéros de $1$ à $10$ sont distribués au hasard à ces $10$
personnes.\\
Chaque personne gagne une somme égale en euros au total du numéro de son propre jeton,
de celui de son voisin de gauche et de celui de son voisin de droite.
\begin{enumerate}
\item \`A l'aide d'un procédé aléatoire de votre choix, donner un exemple de
répartition des jetons.\\
Sur cet exemple, indiquer le gain de chaque personne et la moyenne de ces gains.
\item Prouver que, quelle que soit la répartition des jetons, au moins une des dix
personnes aura un gain supérieur ou égal à $17$ euros.
\item Donner un exemple où tous les gains sont inférieurs ou égaux à $18$ euros.
\item Peut-on, dans la deuxième question, remplacer $17$ par $18$ ?
\end{enumerate}
%Z:

%DMP:t
path p;
p = (0,0)--(0,1)--(1,1)--(1,0)--cycle;
for i=1 upto 5:
    draw p scaled .5cm shifted ((i-1)*.5cm,0);
endfor;
for i=1 upto 4:
    draw p scaled .5cm shifted (1cm,-(i*.5cm));
endfor;
%FMP:

%P:
%T:Panneau
\textbf{EXERCICE 4}\\[1mm]
On dispose:
\begin{itemize}
\item d'un damier carré formé de $10\times 10$ petits carrés identiques.
\item d'une pièce d'un seul tenant obtenue en accolant successivement par au moins
un c\^oté $9$ petits carrés identiques à ceux du damier.
\end{itemize}
Le problème consiste à poser plusieurs exemplaires de cette pièce sur le damier en
respectant les règles suivantes:
\begin{itemize}
\item chaque exemplaire peut-\^etre tourné ou retourné,
\item chaque petit carré constituant les exemplaires recouvre exactement un petit
carré du damier,
\item deux exemplaires ne peuvent pas se chevaucher.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Dessiner l'une des solutions si on pose quatre exemplaires de la pièce 
ci-dessous:
%I:t
\item Montrer que, \textbf{quelle que soit} la forme de la pièce de départ, il
est possible de poser \textbf{deux} exemplaires de cette pièce en respectant 
les règles ci-dessus.
\item Peut-on dans la question précédente remplacer deux par trois, par quatre,
par cinq, etc ..?
\end{enumerate}
%Z: