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Source de coniques-web.tex

Fichier TeX
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\pagestyle{plain}
\title{Les coniques}
\author{Jean-Michel Sarlat}
\date{15 mai 2OO1}
 
\definecolor{gris}{gray}{0.8}
\definecolor{rgris}{rgb}{.7,.4,.4}
\let\oldtextbf\textbf
\def\textbf#1{\oldtextbf{\color{rgris}#1}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\Large Les coniques}\\[1cm]
\rule{.8\linewidth}{0.5mm}\\[5mm]
\textbf{Jean-Michel Sarlat}\\
Lycée Louis Armand -- POITIERS\\
\textit{25 mai 2001}
\end{center}
 
\tableofcontents
 
\section{Définition par foyer et directrice}
\noindent
Soit $\mathcal{D}$ une droite du plan, $F$ un point non situé sur
$\mathcal{D}$ et $e$ un réel strictement positif. L'ensemble
$\mathcal{C}_{e}$ des points $M$ tels que~:
$$\frac{MF}{MH}=e$$
où $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $\mathcal{D}$ est la
\textbf{conique} d'\textbf{excentricité} $e$, de \textbf{foyer} $F$
et de \textbf{directrice} $\mathcal{D}$.\\[1cm]
La perpendiculaire $\Delta$ à $\mathcal{D}$ passant
par $F$ est, de façon immédiate, un axe de symétrie de $\mathcal{C}_{e}$, c'est
l'\textbf{axe focal} de la conique.
\newpage
\begin{figure}[hb]
      \centering
      \parbox{10cm}{\includegraphics[width=9.9cm]{coniques-web-1.pdf}}
      \caption{\'Eléments d'une conique}
\end{figure}
 
\noindent
L'équation cartésienne de $\mathcal{C}_{e}$ dans le repère
orthonormé $(F,\vec{\imath},\vec{\jmath})$ est~:
\begin{center}
        $\displaystyle (1-e^2)X^2+Y^2-2e^2\alpha X -e^2\alpha^2=0$
\end{center}
Son équation polaire suivant l'axe $(F,\vec{\imath})$ se met sous la forme~:
\begin{center}
        $\displaystyle \frac1{r}=\frac1{\alpha e}(1-e\cos\theta)$
\end{center}
Dans ces deux équations $\alpha$ représente la distance du foyer $F$ à
la directrice $\mathcal{D}$ (i.e. $\alpha=KF$).
 
\section{Parabole}
 
\noindent
Dans le cas particulier où l'excentricité $e$ est égale à $1$, la
conique est une \textbf{parabole}.
Un point se distingue de tous les autres, c'est le point $S$~:
\textbf{sommet} de la parabole, il est situé au milieu
de $[KF]$. Comme autres points particuliers, on note $M_{1}$ et $M_{2}$
les intersections de la parabole avec la parallèle à la directrice
passant par $F$.\\[5mm]
La longueur $p$ telle que~:
\begin{center}
        $M_{1}M_{2}=2KF=2p$
\end{center}
est le \textbf{paramètre} de la parabole, c'est le coefficient
$\alpha$ du paragraphe précédent.
\begin{figure}[ht]
       \begin{center}
       \parbox{10cm}{\includegraphics[width=9.9cm]{coniques-web-2.pdf}}
       \end{center}\caption{Parabole}
\end{figure}
Dans le repère ortho\-normé $(S,\vec{\imath},\vec{\jmath})$, l'équation cartésienne
de la parabole est~:
\begin{center}
        $Y^2=2pX$
\end{center}
Un paramètrage admissible est alors~:
        $\displaystyle X=\frac1{2p}t^2,\, Y=t$.
 
 
\section{Coniques à centre}
 
\noindent
On suppose maintenant $e\ne 1$.
L'abscisse, dans $(F,\vec{\imath},\vec{\jmath})$, des points d'intersection
de $\mathcal{C}_{e}$ avec $\Delta$ vérifie~:
$$X^2=e^2(X+\alpha)^2\iff \left((1-e)X-\alpha
e\right)\left((1+e)X+\alpha e\right)=0$$
Il y à donc deux points d'intersections, d'abscisses
$\displaystyle X_{1}=\frac{\alpha e}{1-e}$ et $\displaystyle X_{2}=-\frac{\alpha e}{1+e}$; ce
sont les \textbf{sommets} de la conique. L'équation de
$\mathcal{C}_{e}$ peut s'écrire~:
$$Y^2+(1-e^2)(X-X_{1})(X-X_{2})=0$$
\newpage
\noindent
En conséquence~:
\begin{itemize}
        \item  $\mathcal{C}_{e}$ est symétrique par rapport au point $O$
        de $\Delta$ d'abscisse
        $$\frac12(X_{1}+X_{2})=\frac{\alpha e^2}{1-e^2}$$
        \item  $\mathcal{C}_{e}$ est symétrique par rapport à la droite
        $\delta$ perpendiculaire à $\Delta$ en~$O$
\end{itemize}
\vspace{3mm}
 
On dit alors que $O$ est le \textbf{centre} et $\delta$ l'\textbf{axe
non focal} de la conique. La conique est une \textbf{conique à
centre}, elle possède donc de façon immédiate deux couples
\emph{foyer-directrice}.
 
\section{Ellipse}
\noindent
Une conique à centre dont l'excentricité $e$ est inférieure à $1$ est
une \textbf{ellipse}.\\
On note $A$ et $A'$ les sommets, la grandeur $a$ telle que~:
\begin{center}
        $OA=OA'=a$
\end{center}
est le \textbf{demi-grand axe}. Les intersections de l'ellipse avec
l'axe non focal sont $B$ et $B'$ (sommets se\-condaires de l'ellipse),
la grandeur $b$ telle que~:
\begin{center}
        $OB=OB'=b$
\end{center}
est le \textbf{demi-petit axe}. On complète ces notations en posant~:
\begin{center}
        $OF=OF'=c$
\end{center}
La grandeur $c$ ne possède pas de nom particulier, en
fait elle se déduit de $a$ et $b$, on la retrouve dans les relations
suivantes qui sont \emph{fondamentales} pour caractériser une ellipse
et \emph{placer} ses éléments~:
\begin{center}
        \fbox{\(c=ae\quad b=a\sqrt{1-e^2}\quad a^2=b^2+c^2\)}
\end{center}
\begin{figure}[ht]
       \centering
       \parbox{10cm}{\includegraphics[width=9.9cm]{coniques-web-3.pdf}}
       \caption{Ellipse}
\end{figure}
On note par ailleurs que la distance du centre aux directrices est
égale~à $$OK=OK'=\frac{a}{e}$$
Rapportée à ses axes (repère orthonormé $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}$),
l'équation d'une ellipse est~:
$$\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}=1\hbox{ \emph{(équation réduite)}}$$
elle admet le paramètrage~:
$$X=a\cos t,\, Y=b\sin t$$
et la définition \textbf{bifocale}~:
$$\mathcal{C}_{e}=\{M,\, MF+MF'=2a\}$$
 
\section{Hyperbole}
\noindent
Une conique à centre dont l'excentricité $e$ est supérieure à $1$ est
une \textbf{hyperbole}.\\
Contrairement à l'ellipse, l'hyperbole ne rencontre pas l'axe
$\delta$, elle ne possède que deux sommets~: $A$ et $A'$. On note $a$
et $c$ les grandeurs telles que~:
\begin{center}
        $OA=OA'=a$\\
        $OF=OF'=c$
\end{center}
On vérifie que l'on a encore~:
\begin{center}
        $\displaystyle OK=OK'=\frac{a}{e}$
\end{center}
les relations fondamentales étant~:
\begin{center}
        \fbox{\(c=ae\quad b=a\sqrt{e^2-1}\quad c^2=a^2+b^2\)}
\end{center}
 
\begin{figure}[hb]
       \centering
       \parbox{10cm}{\includegraphics[width=9.9cm]{coniques-web-4.pdf}}
       \caption{Hyperbole}
\end{figure}
 
Rapportée à ses axes (repère orthonormé $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}$),
l'équation d'une hyperbole est~:
$$\frac{X^2}{a^2}-\frac{Y^2}{b^2}=1\hbox{ \emph{(équation réduite)}}$$
ses asymptotes ont pour équation~:
$$\frac{X}{a}-\frac{Y}{b}=0\hbox{ et }\frac{X}{a}+\frac{Y}{b}=0
\quad \left(\hbox{facteurs de
}\frac{X^2}{a^2}-\frac{Y^2}{b^2}=0\right)$$
Si les asymptotes sont perpendiculaires ($e=\sqrt2,\, a=b$)
l'hyperbole  est \textbf{équilatère}.\\
Par ailleurs une hyperbole admet les paramètrages~:
$$(X=\frac{a}{\cos t},\, Y=b\tan t)\hbox{ ou }(X=\pm a\ch t,\,
Y= b \sh t) $$
et la définition \textbf{bifocale}~:
$$\mathcal{C}_{e}=\{M,\, \vert MF- MF'\vert =2a\}$$
 
\section{Cercle}
 
\noindent
Le cercle n'apparaît pas dans la classification précédente, il n'admet
pas de définition par foyer-directrice, ni de définition bifocale. Il
représente un cas particulier de l'ellipse, lorsque $a=b$, c'est à dire
lorsque $e=0$. En examinant de près les éléments de l'ellipse on peut
présenter le cercle comme étant une ellipse dont les directrices sont
repoussées à l'infini alors que les foyers se confondent avec le centre.
Dans la suite on considère que le cercle est une conique, en fait si
on revient à la définition initiale des coniques (\textit{c.f.} section
compléments), le cercle ne se présente pas comme une exception.
 
\section{Courbes du second degré}
\noindent
$\mathcal{P}$~: plan euclidien rapporté à un repère orthonormé
$(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$.\\[0.2cm]
\fcolorbox{gris}{gris}{\parbox{\textwidth}{\textbf{Définition} \it
        Une courbe $\mathcal{C}$ de $\mathcal{P}$ est du \textbf{second
        degré} si, et seulement si elle admet une équation cartésienne de la
        forme~:
        $$\alpha x^2+2\beta xy+\gamma y^2+ax+by+c=0$$
        où $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $a$, $b$ et $c$ sont des réels tels
        que $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\ne 0$.
}}\\[0.2cm]
On montre que les courbes du second degré sont, soit des coniques, soit des réunions de points ou de droites ou
soit ... le vide !\\[0.2cm]
On classe les courbes du second degré de la façon suivante~:
\begin{enumerate}
        \item  Si $\beta^2-\alpha\gamma>0$, $\mathcal{C}$ est du \emph{genre
        hyperbole},
        \item  Si $\beta^2-\alpha\gamma=0$, $\mathcal{C}$ est du \emph{genre
        parabole},
        \item  Si $\beta^2-\alpha\gamma<0$, $\mathcal{C}$ est du \emph{genre
        ellipse}.
\end{enumerate}
 
\noindent
Soit $\lambda$ et $\mu$ les valeurs propres de
$A=\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\ \beta&\gamma\end{pmatrix}$, c'est à dire les racines
du polynôme \emph{caractéristique}~:
$X^2-(\alpha+\gamma)X+(\alpha\gamma-\beta^2)$. Il est facile de vérifier
que $\lambda$ et $\mu$ existent et sont réels.\\[1cm]
\rule{2mm}{2mm} Cas $\lambda=\mu$.\\
Ce cas correspond à $\alpha=\gamma$ et $\beta=0$, l'équation de
$\mathcal{C}$ peut se mettre sous la forme~:
$$x^2+y^2+a'x+b'y+c'=0$$
On se retrouve donc en terrain connu~:  $\mathcal{C}$ est un cercle si
$4c'<a'^2+b'^2$, réduit à un point si $4c'=a'^2+b'^2$ et vide si
$4c'>a'^2+b'^2$ !\\
\rule{2mm}{2mm} Cas $\lambda\ne \mu$.\\
Soient $\vect{I}$ et $\vect{J}$ des vecteurs propres normés
associés à $\lambda$ et $\mu$, ils sont orthogonaux. Dans le repère
$(O,\vect{I},\vect{J})$ la courbe $\mathcal{C}$
possède une équation de la forme~:
$$\lambda X^2+\mu Y^2+2uX+2vY+w=0$$
\newpage
\begin{itemize}
        \item[{\large\ding{43}}]  \fbox{$\beta^2-\alpha\gamma>0$} $\lambda$ et $\mu$ sont non
        nuls et de signes contraires, on suppose $\lambda>0$. Soit
        $\Omega(-\frac{u}{\lambda},-\frac{v}{\mu})$ dans $(O,\vect{I},\vect{J})$.
        Dans $(\Omega,\vect{I},\vect{J})$, l'équation de $\mathcal{C}$ est~:
        $$\lambda X'^2 + \mu Y'^2+h=0$$
        \begin{itemize}
                \item  Si $h=0$, $\mathcal{C}$ est la réunion des deux droites dont
                les équations sont~:
                $$\sqrt{\lambda}X'+\sqrt{-\mu}Y'=0\, \hbox{ et }\,
                \sqrt{\lambda}X'-\sqrt{-\mu}Y'=0$$
                La courbe est dite hyperbole dégénérée en deux droites.
                \item  Si $h\ne 0$, $\mathcal{C}$ est une hyperbole dont on peut
                obtenir aisément l'équation réduite en tenant compte du signe de
                $h$ (il y à deux orientations possibles pour l'axe focal).
        \end{itemize}
\end{itemize}
\newpage
 
\begin{itemize}
        \item[{\large\ding{43}}]  \fbox{$\beta^2-\alpha\gamma=0$} $\lambda$ ou $\mu$ est nul,
        on suppose $\lambda=0$.
        \begin{itemize}
                \item  Si $u=0$, l'équation de $\mathcal{C}$ devient $\mu
                Y^2+2vY+w=0$; $\mathcal{C}$ est soit la réunion de deux droites
                parallèles ($v^2-w>0$), soit une droite ($w=v^2$), soit le vide
                ($v^2-w<0$).
 
                \item  Si $u\ne 0$, $\mathcal{C}$ est une parabole.
        \end{itemize}
\end{itemize}
\begin{itemize}
        \item[{\large\ding{43}}]  \fbox{$\beta^2-\alpha\gamma<0$} $\lambda$ et $\mu$ sont de
        même signe. On suppose $\lambda,\mu >0$. Soit
        $\Omega(-\frac{u}{\lambda},-\frac{v}{\mu})$ dans $(O,\vect{I},\vect{J})$.
        Dans $(\Omega,\vect{I},\vect{J})$, l'équation de $\mathcal{C}$ est~:
        $$\lambda X'^2 + \mu Y'^2+h=0$$
        \begin{itemize}
                \item  Si $h>0$, $\mathcal{C}$ est vide (ellipse imaginaire).
 
                \item  Si $h=0$, $\mathcal{C}$ est réduite à un point ($\Omega$).
 
                \item  Si $h<0$, $\mathcal{C}$ est l'ellipse dont l'équation réduite
                est~:
                $$\frac{x'^2}{(\sqrt{-\frac{h}{\lambda}})^2}+
                \frac{y'^2}{(\sqrt{-\frac{h}{\mu}})^2}=1$$
        \end{itemize}
\end{itemize}
 
\newpage
\paragraph{NOTE IMPORTANTE.} Toute l'activité qui, en partant de l'équation
d'une courbe du second degré, à l'aide de changement de
repère et de réécritures d'équations permet l'identification de la
courbe porte le nom de \textbf{réduction}. Aucune formule n'est à
retenir avec l'intention de donner directement la nature de la courbe,
il faut effectuer complètement
la réduction dans chaque cas d'étude.
 
\paragraph{Exemple traité.} Soit à reconnaître la courbe $\mathcal{C}$ d'équation
$$xy+3x+5y-4=0$$
On a~: $1^2 -0\times 0=1>0$ donc la courbe est du genre hyperbole.
les racines de $X^2-\frac14$ sont $+\frac12$ et $-\frac12$. Les vecteurs associés à ces
valeurs sont~:
$$\vect{I}=\frac{\sqrt2}2\vec{\imath}+\frac{\sqrt2}2\vec{\jmath}\, \hbox{
et }\, \vect{I}=-\frac{\sqrt2}2\vec{\imath}+\frac{\sqrt2}2\vec{\jmath}$$
Les formules de changement de repère de $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$ à
$(O,\vect{I},\vect{J})$ sont~:
$$x=\frac{\sqrt2}2X-\frac{\sqrt2}2Y\, \hbox{
et }\, y=\frac{\sqrt2}2X+\frac{\sqrt2}2Y$$
Dans le nouveau repère, $\mathcal{C}$ à pour équation~:
$$X^2-Y^2+8\sqrt{2}X+2\sqrt{2}Y-8=0\leqno{(1)}$$
Soit $x'=X+4\sqrt2$ et $y'=Y-\sqrt2$, alors
\begin{eqnarray*}
        (1)&\iff& x'^2-y'^2-38=0\\
        &\iff& \frac{x'^2}{38}-\frac{y'^2}{38}=1
\end{eqnarray*}
$\mathcal{C}$ est l'hyperbole de centre $\Omega(-4\sqrt2,\sqrt2)$
dans le repère $(O,\vect{I},\vect{J})$, d'axe focal $(O,\vect{I})$.
 
\begin{figure}[hb]
       \centering
       \parbox{10cm}{\includegraphics[width=9.9cm]{coniques-web-5.pdf}}
\end{figure}
 
\section{Compléments}
\subsection{Sections coniques}
 
% \begin{wrapfigure}[12]{r}{7cm}
%       \centering
%       \fig{0.35}{coniques.eps}
% \end{wrapfigure}
\noindent
Une \textbf{section conique} ou une conique est la section d'un cône
de révolution par un plan. Les coniques constituent une famille de
courbes qui contient les cercles, les ellipses, les paraboles et les
hyperboles. \\[0.1cm]
L'étude des coniques comme figures de l'espace a été entreprise par les grecs (en particulier
\textsc{Apollonius}), elle a été renouvelée à la Renaissance par
\textsc{La Hire} qui les a présentées comme des
figures du plan sans référence à l'espace (présentation actuelle).
 
\subsection{\'Equation polaire}
\noindent
L'équation polaire d'une conique dont le pôle coincide avec l'un des foyers est~:
$$r=\frac{ep}{1-e\cos(\theta-\theta_{0})}$$
où $e$ est l'excentricité de la conique, $p$ la distance du foyer à
la directrice et $\theta_{0}$ l'angle polaire de l'axe focal.
\paragraph{Exemples.} La courbe d'équation $r=\frac1{1-\sin\theta}$ est
un parabole, celle d'équation $r=\frac1{1+2\cos\theta}$ est une
hyperbole (mais on obtient une seule branche).
\subsection{\'Equation des tangentes}
L'équation de la tangente au point $(x_{0},y_{0})$ des différentes coniques
rapportées à leur repère propre se retrouve à l'aide de la \emph{règle
du dédoublement}~:
\begin{itemize}
        \item  Parabole $2px=y^2$~, tangente : $p(x+x_{0})=yy_{0}$
 
        \item  Ellipse $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$,
        tangente~: $\displaystyle \frac{xx_{0}}{a^2}+\frac{yy_{0}}{b^2}=1$.
 
        \item  Hyperbole $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$,
        tangente~: $\displaystyle \frac{xx_{0}}{a^2}-\frac{yy_{0}}{b^2}=1$.
\end{itemize}
\paragraph{Exemple.} La tangente à l'ellipse d'équation $4x^2+y^2=1$
au point de coordonnées $(\frac14,\frac{\sqrt3}2)$ à pour équation~:
$x+\frac{\sqrt3}2y=1$.\\[0.3cm]
Cette règle du dédoublement (substitutions~: $X^2\leftarrow XX_{0}$
et $2X\leftarrow X+X_{0}$) s'applique aux courbes du second degré en
général (à démontrer !).
 
\end{document}