Source de AnnalesVergesTES99.tex
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\begin{document}
\begin{document}
\noindent \Large{\textbf{BACCALAURÉAT SÉRIE ES SESSION
1999}}\normalsize{}
\vspace{3cm}
\begin{itemize}
\item Sujet 1 : France métropolitaine, juin 1999\dotfill 2\\
\item Sujet 2 : Amérique du Nord, juin 1999\dotfill
8\\
\item Sujet 3 : Guadeloupe-Guyane, juin 1999 \dotfill 12\\
\item Sujet 4 : Centres étrangers, juin 1999 \dotfill 17\\
\item Sujet 5 : Polynésie, juin 1999 \dotfill 21\\
\item Sujet 6 : La Réunion, juillet 1999 \dotfill 26\\
\item Sujet 7 : Asie, juin 1999 \dotfill 31\\
\item Sujet 8 : France; session de remplacement, septembre
1998\dotfill 36\\
\item Sujet 9 : Amérique du Sud, novembre 1998\dotfill 41\\
\item Sujet 10 : Nouvelle-Calédonie, décembre 1998\dotfill 46\\
\item Sujet 11 : Polynésie, session de remplacement, septembre
1998\dotfill 48\\
\item Sujet 12 : Sportifs de haut-niveau, octobre 1998\dotfill 53\\
\end{itemize}
\newpage
%% Sujet 1 France Métropolitaine %%%%
%%%% %%%%
\noindent \doublebox{TES
\hspace{2.9cm}\Large{\textbf{Baccalauréat juin 1999}}
\hspace{2.9cm}\normalsize{}}\\
\noindent \textbf{Exercice 1}\hspace{2cm}6 points\\
Le tableau suivant donne l'indice mensuel des dépenses
d'assurance maladie d'août 1994 à juin 1995 (tendances observées à
fin juillet 1995 - base 100, janvier 1990).\\
\begin{center}
\begin{tabular}{*{7}{|p{1.6cm}|}}\hline
Mois & Août 1994 & Octobre 1994& Décembre 1994& Février 1995& Avril
1995 & Juin 1995\\ \hline
Rang du mois $x_i$ & ~1 &~ 3 & ~5 &~ 7 &~ 9 &~ 11\\ \hline
Indice $y_i$& ~123,4 &~ 125,9 &~ 127,5 &~ 127,9&~ 129 &~131,4 \\ \hline
\end{tabular} \end{center}
\footnotesize{(Source : Département statistique de la Caisse
Nationale de l'Assurance Maladie des Travailleurs
Salariés).}\normalsize{}\\
\textit{Pour tout l'exercice, les détails des calculs statistiques
ne sont pas demandés. Les résultats seront arrondis avec deux
chiffres après la virgule.}\\
On a représenté ci-après le nuage de points $M_i(x_i~;~ y_i)$
associé à la série statistique dans un repère orthogonal. G désigne
le point moyen du nuage. On veut réaliser un ajustement affine de ce nuage de
points.\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{1)} Déterminer les coordonnées du
point G et placer ce point sur le graphique.\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} Le modèle étudié dans cette
question sera appelée « droite de Mayer ».\\
\textbf{a)} G$_1$ désigne le point moyen des trois premiers points du
nuage et G$_2$ celui des trois derniers points.\\
Déterminer les coordonnées de G$_1$ et de G$_2$.\\
\textbf{b)} Déterminer l'équation réduite de la droite (G$_1$G$_2$)
sous la forme $y = \textrm{A}x + \textrm{B}$.\\
\textbf{c)} Tracer la droite (G$_1$G$_2$) sur le graphique
précédent.\\
\textbf{d)} En utilisant la calculatrice, déterminer la somme des
résidus pour cet ajustement affine :
$$\textrm{S}_1 = \sum(y_i - \textrm{A}x_i - \textrm{B})^2.$$
\noindent $\triangleright~$\textbf{3)} Le deuxième modèle proposé est
celui des moindres carrés.\\
La calculatrice donne :\\
$\bullet $ l'équation de la droite D d'ajustement de $y$ en $x~ :~
y = 0,71x + 123,26$~;\\
$\bullet $ la somme des résidus pour cet ajustement S$_2 \approx 1,7$
(arrondie avec un chiffre après la virgule).\\
\textbf{a)} Des droites D et (G$_1$G$_2$), quelle est celle qui
réalise le meilleur ajustement affine ? Justifier.\\
\textbf{b)} Tracer D sur le graphique précédent.\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{4) a)} Quels sont les indices
mensuels que l'on pouvait prévoir en utilisant l'ajustement affine par la
méthode des moindres carrés (question \textbf{3)}) pour les mois cités dans
le tableau ci-dessous ?\\
\textbf{b)} Recopier le tableau ci-dessous et le compléter.
\begin{center}
\begin{tabular}{|p{4cm} *{3}{|c}|}\hline
Mois & Nov. 1995 & Déc. 1995 & Janvier 1996\\ \hline
Indices prévisionnels calculés par l'ajustement affine des moindres
carrés. & & & \\ \hline
Tendances réellement observées. & 134,3 & 133,4 & 133,5\\ \hline
\end{tabular}\\
\end{center}
\textbf{c)} Quel commentaire peut-on faire ?\\
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,5)
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabelcolor=white]
\psline{->}(1,0.5)(8,0.5) \psline{->}(1,0.5)(1,5)
\rput(1,0.2){\small{0}} \rput(1.5,0.2){\small{1}}
\rput(2.5,0.2){\small{3}}
\rput(3.5,0.2){\small{5}} \rput(4.5,0.2){\small{7}}
\rput(5.5,0.2){\small{9}}
\rput(6.5,0.2){\small{11}} \rput(7.5,0.2){\small{$x$}}
\rput(0.3,0.5){\small{123}} \rput(0.3,1){\small{124}}
\rput(0.3,1.5){\small{125}}
\rput(0.3,2){\small{126}} \rput(0.3,2.5){\small{127}}
\rput(0.3,3){\small{128}} \rput(0.3,3.5){\small{129}}
\rput(0.3,4){\small{130}}
\rput(1.4,4.6){Indice} \rput(5.6,0.7){Rang du mois}
\rput(0.2,4.5){\small{$y$}}
\psdots*[dotstyle=square](1.5,0.73)(2.5,1.8)(3.5,2.7)(4.5,2.9)(5.5,3.5)
(6.5,4.75)
\end{pspicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Exercice 1}\hspace{2cm}5 points\\
\textbf{(obligatoire)}\\
La courbe ci-dessous représente une fonction $f$ définie et dérivable
sur [0~ ;~$+~\infty[$ dans le repère (O ;~ $\overrightarrow{\imath},~
\overrightarrow{\jmath}$) .\\
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.\\
La droite T$_{\textrm{A}}$ est tangente au point A d'abscisse 0.\\
La courbe admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point
d'abscisse 1.\\
Enfin, la fonction $f$ est croissante sur [1~;~$+~\infty[$ et sa
limite en +~$\infty$ est $+~\infty$.\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{1)} À partir des informations
portées sur le graphique et complétées par les précisions précédentes
, répondre aux questions suivantes : \\
\textbf{a)} Reproduire et compléter le tableau ci-dessous :
$$\begin{array}{*{3}{|c}|}\hline
~~~~x~~~~ & ~~~~0~~~~ &~~~~ 1~~~~\\ \hline
f(x) & &\\ \hline
f'(x) & & \\ \hline
\end{array}$$
\textbf{b)} Donner le tableau de variation de $f$ sur [0 ;~$+~\infty[$,
complété par la limite en $+~\infty$.\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} On considère la fonction $g$
inverse de la fonction $f$, c'est-à-dire $g = \cfrac{1}{f}$.
On note $g'$, la fonction dérivée de $g$. \\
\textbf{a)} Déterminer $g(0),~ g(1),~ g(3)$.\\
\textbf{b)} Quel est le sens de variation de la fonction $g$ sur [0
;~$+~\infty[$ ?
Justifier la réponse donnée.\\
\textbf{c)} Déterminer les valeurs $g'(0),~ g'(1)$.\\
\textbf{d)} Déterminer la limite de $g$ en + ~$\infty$.\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{3)} On souhaite traduire
graphiquement les informations obtenues pour la fonction $g$.\\
Tracer une courbe qui satisfait aux résultats obtenus à la question
\textbf{2)} dans un repère orthonormal (unité : 2 cm) sur une feuille
de papier millimétré ; le tracé des tangentes aux points d'abscisses 0 et
1 devra apparaître sur la figure.\\
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-2)(5,4)
\psgrid[subgriddiv=1](0,0)(-1,-2)(5,4)
\psline{->}(0,2)(1.333,-2) \psline{<->}(0.5,1)(1.5,1)
\rput(0.2,2.1){A} \rput(1.5,-1.5){T$_{\textrm{A}}$}
\pscurve(0,2)(1,1)(2,1.2)(3,2)(4,2.82)(5,3.63)
\end{pspicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Exercice 2}\hspace{2cm}5 points\\
\textbf{(spécialité)}\\
L'espace est muni d'un repère orthonormal (O ;~$\overrightarrow{\imath},~
\overrightarrow{\jmath},~\overrightarrow{k}$) représenté ci-après.
Le plan (R) est représenté par ses traces sur les plans de
coordonnées ; il a pour équation : $x + z = 2$.\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{1)} On donne les points A, B, C
définis par leurs coordonnées respectives : A(6 ; 0 ; 0), B(0 ; 3 ; 0) et
C(0 ; 0 ; 6).\\
\textbf{a)} Placer les points A, B, C dans le repère (O
;~$\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath},~\overrightarrow{k}$) et
tracer le triangle ABC.\\
\textbf{b)} Calculer les coordonnées des vecteurs
$\overrightarrow{\textrm{AB}}$ ~et ~$\overrightarrow{\textrm{AC}}$.\\
\textbf{c)} Soit $\overrightarrow{n}$ le vecteur de coordonnées (1 ; 2 ; 1).
Montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}$ est normal au plan (P) passant par A, B et C.\\
\textbf{d)} Vérifier que le plan (P) a pour équation $x + 2y + z =
6$.\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} On a placé dans le repère les
points G, E et F à coordonnées entières.\\
Le point G est situé sur l'axe (O~;~$\overrightarrow{\jmath}$), le
point E dans le plan (O ;~$\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}$) et
le point F dans le plan (O~;~$ \overrightarrow{\jmath},~ \overrightarrow{k}$).\\
Le plan (Q) passant par les points G, E et F est parallèle au plan
(0 ;~$ \overrightarrow{\jmath},~ \overrightarrow{k}$).\\
\textbf{a)} Donner l'équation du plan (Q).\\
\textbf{b)} Donner les coordonnées des points G, E et F.\\
\textbf{c)} Parmi les points E, F et G quels sont ceux situés dans le
plan (P) ?\\
\textbf{d)} Quelle est la nature de l'ensemble des points M dont les
coordonnées $(x ~;~ y~;~ z)$ vérifient le système :
$$\left\{ \begin{array}{r c l}
y &=& 2\\
x + 2y + z &=& 6
\end{array}\right.$$
\textbf{e)} Représenter cet ensemble sur la figure ci-dessous.\\
\begin{center}
\psset{unit=4mm}
\begin{pspicture}(34,21)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1]
\psline[linewidth=2pt]{->}(17,12)(19,12)
\psline[linewidth=2pt]{->}(17,12)(17,14)
\psline[linewidth=2pt]{->}(17,12)(15.586,10.586)
\psline[linewidth=2pt](0,12)(34,12)
\psline[linewidth=2pt](17,0)(17,21)
\psline[linewidth=2pt](15,10)(34,10)
\psline[linewidth=2pt](17,16)(34,16)
\psline[linewidth=2pt](15,10)(17,16)
\psline[linewidth=2pt](17,12)(5,0)
\rput(16.2,12.2){O} \rput(16,10.5){$\vec{\imath}$}
\rput(18.5,12.5){$\vec{\jmath}$}\rput(17.5,13.5){$\vec{k}$}
\rput(19,9){E} \rput(21,16.5){F} \rput(21,12.5){G}
\rput(30,15){(R)}
\end{pspicture}
\end{center}
\noindent $\triangleright~$\textbf{3)} On considère le système S de 3
équations à 3 inconnues $x,~ y,~ z $:
$$\left\{ \begin{array}{r c l}
x + z& =& 2\\
y &=& 2\\
x + 2y + z& =& 6
\end{array} \right. $$
Quel est l'ensemble des points de l'espace dont les coordonnées sont
les solutions du système S ?
\noindent \textbf{Problème}\hspace{2cm}9 points\\
On a tracé dans un repère orthonormal (O ;~$ \overrightarrow{\imath},~
\overrightarrow{\jmath}$) la courbe représentative ($\mathcal{C}$) de la
fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0 ; 4] par $f(x) = x - \cfrac{1}{2} -
\ln x$.\\
\textit{Dans tout le problème on donnera les résultats arrondis à}
$10^{-3}$.\\
\noindent \textbf{A - Étude théorique liée à la fonction} $f$\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{1) a)} Étudier le sens de
variation de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0 ; 4].\\
\textbf{b)} Étudier la limite de $f$ en 0.\\
\textbf{c)} Donner le tableau de variation de $f$.\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} Soit (Z) la partie du plan
délimitée par la courbe ($\mathcal{C}$) et les droites d'équations $y =
\cfrac{1}{2},~x = 1$ et $x = 3$.\\
\textbf{a)} Justifier que l'on a $f(x) „ \cfrac{1}{2}$ sur ]0 ; 4] et
exprimer à l'aide d'une intégrale (que l'on n'essaiera pas de calculer dans
cette question) l'aire $\mathcal{A}$, en unités d'aire, de la partie (Z) du
plan. \\
\textbf{b)} Soit $g$ la fonction définie sur ]0 ; 4] par $g(x) = x
\ln x - x$.\\
Calculer $g'(x)$.\\
\textbf{c)} En déduire la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$, en
unités d'aire.\\
\noindent \textbf{B - Probabilité et jeu}\\
Au cours de l'élaboration d'une phase d'un jeu vidéo inspiré du golf,
on cherche à évaluer la probabilité de gagner.\\
L'écran est le carré AOFB. Les sommets du carré ont pour coordonnées :\\
A(0 ; 4), 0(0 ; 0) F(4 ; 0) B(4 ; 4).\\
La courbe ($\mathcal{C}$) partage l'écran en deux parties :\\
$\bullet~$ la partie de l'écran située strictement au-dessus de la
courbe représente une mare et elle est notée (M) ;\\
$\bullet~$ la partie de l'écran située au-dessous de la courbe
représente le terrain de jeu et elle est notée (T).\\
La partie (Z) définie au paragraphe \textbf{A} est donc incluse dans
(T).\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{1)} Dans cette question, le jeu
consiste à simuler le lancer d'une balle. On admet que la probabilité
d'atteindre une partie de l'écran est donnée par :
$$\cfrac{\textrm{Aire de la partie de l'écran considérée}}
{\textrm{Aire du carré AOFB}} $$
Cette probabilité est indépendante de l'unité graphique choisie.\\
Déterminer, par le calcul, la probabilité que la balle atteigne la
zone (Z).\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} Dans cette question, le jeu
consiste à simuler trois lancers successifs et indépendants ; on admet que,
pour chaque lancer, la probabilité d'atteindre (Z) est de 0,044.\\
On gagne lorsque deux au moins des trois balles lancées ont atteint
la partie (Z).\\
Calculer la probabilité de gagner.\\
On pourra s'aider d'un arbre et on fera figurer le détail des calculs
sur la copie.\\
\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(4,4)
\psgrid[subgriddiv=1](0,0)(-0.5,-0.5)(4.5,4.5)
\psline{->}(0,0)(1,0) \psline{->}(0,0)(0,1)
\rput(-0.3,0.3){O} \rput(3.5,0.2){(T)}
\rput(3.5,2){($\mathcal{C}$)}
\rput(1.5,2.8){(M)} \rput(-0.3,4.1){A} \rput(4.2,4.2){B}
\rput(4.2,-0.3){F} \rput(0.5,-0.3){$\vec{\imath}$}
\rput(-0.3,0.5){$\vec{\jmath}$}
\pscustom[linewidth=0.7mm]
{\pscurve(1,0.5)(1.25,0.527)(1.5,0.595)(1.75,0.69)(2,0.807)(2.25,0.939)
(2.5,1.0837)(2.75,1.238)(3,1.4014)
\gsave
\psline[liftpen=1](3,0.5)(1,0.5)%(3,1.40139)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
\grestore}
\psline[linewidth=0.7mm](1,0.5)(3,0.5) \psline[linewidth=0.7mm](3,0.5)(3,1.401)
\pscurve(0.05,2.546)(0.1,1.903)(0.2,1.309)(0.25,1.1363)(0.5,0.693)(0.75,0.538)
(1,0.5)
%(1.25,0.527)(1.5,0.595)(1.75,0.69)(2,0.807)(2.25,0.939)(2.5,1.0837)(2.75,1.238)
\pscurve(3,1.4014)(3.25,1.571)(3.5,1.747)(3.75,1.928)(4,2.113)
\rput(2.7,0.8){(Z)}
\end{pspicture}
\end{center}
\footnote{\scalebox{1 -1}{National juin 1999}}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Sujet 2 Amérique du Nord juin 1999 %%
\noindent \doublebox{TES
\hspace{2.9cm}\Large{\textbf{Baccalauréat juin 1999}}
\hspace{2.9cm}\normalsize{}}\\
\noindent \textbf{Exercice 1}\hspace{2cm}5 points\\
\textbf{Commun à tous les candidats}\\
Une salle de spectacle propose, pour la saison, des abonnements pour
4, 5 ou 6 spectacles.\\
Dans la population des abonnés, la répartition est la suivante :\\
* 43,5 \% ont choisi l'abonnement 4 spectacles,\\
* 33 \% ont choisi l'abonnement 5 spectacles,\\
* le reste a choisi l'abonnement 6 spectacles. \\
D'autre part, 65 \% des abonnés sont des jeunes de moins de 25 ans,
et dans cette population, la répartition est différente :\\
* 40 \% ont choisi l'abonnement 4 spectacles,\\
* 40 \% ont choisi l'abonnement 5 spectacles,\\
* le reste a choisi l'abonnement 6 spectacles.\\
On interroge un abonné au hasard.\\
On note A l'événement « L'abonné interrogé a moins de 25 ans ».
Ainsi la probabilité p(A) de cet événement est 0,65.\\
€ On note B l'événement « L'abonné interrogé a choisi 5 spectacles
».\\
€ Pour tout événement V, on note $\overline{\textrm{V}}$ l'événement
contraire de V.\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{1) a)} Quelle est la probabilité
que l'abonné interrogé ait 25 ans ou plus ?\\
\textbf{b)} Sachant que l'abonné interrogé a moins de 25 ans, quelle
est la probabilité qu'il ait choisi 5 spectacles ?\\
\textbf{c)} Décrire l'événement (A $\cap$ B), et démontrer que la
probabilité p(A ~$\cap$~ B) est égale à 0,26.\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{2) a)} Démontrer que la
probabilité p($\overline{\textrm{A}} \cap$ B) est égale à 0,07.\\
\textbf{b)} En déduire la probabilité conditionnelle de B sachant que
A est réalisé.\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{3)} L'abonnement pour 4 spectacles
coûte 50 euros, celui pour 5 spectacles coûte 60 euros, et celui pour 6
spectacles coûte 70 euros. On appelle $X$ la variable aléatoire égale à la
somme dépensée par l'abonné interrogé.\\
\textbf{a)} Donner la loi de probabilité de X en complétant :
$$\begin{array}{| c | c | c | c |}\hline
x_{i} & ~~~~50~~~~ &~~~~60~~~~ &~~~~ 70~~~~\\ \hline
p(X = x_{i}) & & & \\ \hline
\end{array}$$
\textbf{b)} Calculer l'espérance de $X$.\\
\noindent \textbf{Exercice 1}\hspace{2cm}5 points\\
\textbf{Uniquement pour les candidats ayant opté pour l'enseignement
de spécialité}\\
L'espace est rapporté au repère orthonormal (0 ;~$\overrightarrow{\imath}
,~\overrightarrow{\jmath} ,~\overrightarrow{k}$).\\
ABCDOFGH est un pavé défini par $\overrightarrow{\textrm{OH}} = 3
\vec{\imath} ,~ \overrightarrow{\textrm{OF}} =
4\overrightarrow{\jmath}$ et $\overrightarrow{\textrm{OA}} = 3\overrightarrow{k}$
.\\
Soit L le milieu de [CG]. \\
\begin{center}
\begin{pspicture}(7,6)
\psframe(0.8,0.8)(4.8,3.8) %CGHD
\pspolygon(0.8,3.8)(4.8,3.8)(6,5)(2,5) %ABCD
\pspolygon(4.8,0.8)(6,2)(6,5)(4.8,3.8) %CBFG
\psline[linestyle=dashed](2,3)(2,5)
\psline[linestyle=dashed](3,2)(6,2)
\psline[linestyle=dashed](2,2)(0.8,0.8)
\psline{->}(2,2)(1.6,1.6)
\psline{->}(2,2)(3,2)
\psline{->}(2,2)(2,3)
\rput(2.2,2.2){O} \rput(1.7,5){A} \rput(6.2,5.2){B}
\rput(4.7,4){C} \rput(0.6,3.7){D} \rput(6.2,2.2){F}
\rput(5,0.5){G} \rput(1,0.5){H} \rput(1.7,1.8){$\vec{\imath}$}
\rput(2.5,1.6){$\overrightarrow{\jmath}$}
\rput(1.8,2.4){$\overrightarrow{k}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\noindent $\triangleright~$\textbf{1)} On considère l'ensemble
($\Pi$) des points dont les coordonnées $x,~ y$ et $z$ vérifient :
$4x- 3y + 8z - 12 = 0$.\\
\textbf{a)} Parmi les points A, B, O, G, H, L lesquels appartiennent
à ($\Pi$) ?\\
\textbf{b)} Justifier que l'ensemble ($\Pi$) est le plan (BLH).\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{2) a)} Donner les coordonnées d'un
vecteur normal $\overrightarrow{n}$ au plan (BLH).\\
\textbf{b)} Soit ($\Delta$) la droite passant par A et de vecteur
directeur $\overrightarrow{n}$.\\
Montrer que ($\Delta$) est l'ensemble des points $M$ tels que
$\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow{\textrm{AM}} . \overrightarrow{\textrm{NH}} = 0\\
\textrm{et}\\
\overrightarrow{\textrm{AM}} . \overrightarrow{\textrm{BL}} = 0.\\
\end{array}\right.$
En déduire un système d'équations caractérisant la droite
($\Delta$).\\
\textbf{c)} Montrer que le point de coordonnées $\left(-~ \cfrac{48}{89}~ ;~
\cfrac{36}{89}~ ;~\cfrac{171}{89} \right)$ appartient à ($\Delta$) et
à $(\Pi)$.\\
\noindent \textbf{Exercice 2}\hspace{2cm}5 points\\
\textbf{Uniquement pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de
spécialité}\\
On donne, dans un repère orthonormal (0 ;~$\overrightarrow{\imath}
,~\overrightarrow{\jmath}$) du plan, la courbe représentative
($\Gamma$) d'une fonction $f$,
définie et dérivable sur [0 ; 6].\\
Les points A$\left(\cfrac{1}{2} ~ ; 2\right),~ B\left( 4~;~\cfrac{1}{4}\right)$
et C(2 ; 1) sont des points de ($\Gamma$), et (T) est la tangente à ($\Gamma$)
en C.
\begin{center}
\begin{pspicture}(10,4)
\psgrid[subgriddiv=4]
\psline{->}(0,0)(1,0) \psline{->}(0,0)(0,1) \psline(0,2)(4,0)
\rput(0.6,2.1){A} \rput(0.6,1.4){(T)} \rput(2.2,1.2){C}
\rput(4.2,0.3){B} \rput(-0.2,-0.2){O}
\rput(0.5,-0.5){$\overrightarrow{\imath}$ }
\rput(-0.5,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$ }
\pscurve(0,2.5)(0.5,2)(1,1.6)(1.5,1.25)(2,1)(3,0.62)(4,0.25)(5,0)(6,0.25)
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{1cm}
\noindent $\triangleright~$\textbf{1) a)} Déterminer par lecture
graphique le minimum et le maximum de $f$ sur [0 ; 6].\\
\textbf{b)} Déterminer par lecture graphique l'image par $f$ de
l'intervalle [0 ; 2].\\
\textbf{c)} En utilisant le graphique, donner l'ensemble des
solutions de l'inéquation $f(x) < \cfrac{1}{2}$.\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{2) a)} On admet que (T) est
parallèle à (AB).
Déterminer alors $f'(2)$.\\
\textbf{b)} Déterminer l'équation réduite de (T), et celle de (AB).\\
\textbf{c)} Justifier à l'aide du graphique que, pour tout $x$ de
$\left[\cfrac{1}{2}~ ;~ 4\right]$ on a :
$$-~\cfrac{1}{2} x + 2 ¾ f(x) ¾ -~\cfrac{1}{2} x + \cfrac{9}{4}.$$
\noindent $\triangleright~$\textbf{3)} On pose I =$
\int\limits_{\frac{1}{2}}^9 f(x)\: \textrm{d}x.$ Déduire du résultat
précédent
\textbf{2) c} que l'intégrale I est comprise entre $\cfrac{49}{16}$
et $\cfrac{63}{16}$.\\
\noindent \textbf{Problème}\hspace{2cm}10 points\\
Une entreprise envisage la fabrication d'un nouveau produit. Sa
décision dépend des résultats de plusieurs études :\\
\textbf{Étude de la demande pour ce nouveau produit} : c'est l'objet
de la partie \textbf{A}.\\
\textbf{Étude d'un coût moyen de production} : c'est l'objet de la
partie \textbf{B.}\\
\noindent \textbf{Partie A}\\
Une étude a permis d'établir le tableau suivant oû, pour différentes
observations, $x_{i}$ désigne la quantité de produit (en milliers
d'unités) que la clientèle est disposée à acheter, et $y_{i}$ le prix de
vente (en francs) d'une unité :
$$\begin{array}{| c| c | c | c | c | c | c |}\hline
x_{i}& ~~1,5~~& ~~ 3~~&~~5~~ &~~8~~ &~~11~~ &~~12~~\\ \hline
y_{i}& 120& 110& 100 & 90& 80& 70\\ \hline
\end{array}$$
Ainsi, pour que la clientèle soit disposée à acheter 5\:000 unités,
le prix de vente d'une unité doit être fixé à 100 F.\\
$\triangleright~$\textbf{1)} Représenter le nuage de points associé
à cette série statistique.\\
Prendre 1 cm pour 1 millier d'unités en abscisse, et 1 cm pour 10
francs en ordonnée.\\
\textit{Dans les questions suivantes, le détail des calculs
statistiques n'est pas demandé; les résultats seront donnés à}
$10^{ -~ 2}$ \textit{près}.\\
$\triangleright~$\textbf{2)} Donner le c¦fficient de corrélation
linéaire de cette série statistique.\\
Un ajustement affine est-il approprié ? Justifier la réponse.\\
$\triangleright~$\textbf{3) a)} Donner une équation de la droite
d'ajustement de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés.\\
\textbf{b)} D'après ce modèle, comment faut-il fixer le prix de vente
d'une unité si l'on veut pouvoir vendre un minimum de 6\:500 unités ?\\
$\triangleright~$\textbf{4)} On admet que le prix de vente d'une
unité, noté PV, est une fonction de la demande $x$ (en milliers d'unités)
définie, pour $ x \in$ [2 ; 15], par : PV$(x) = -~4,33x+ 124,2$.\\
Représenter la fonction PV dans le repère utilisé dans la question
\textbf{1)}.\\
\noindent \textbf{Partie B}\\
Le coût total de production (en francs) de $x$ milliers d'unités est,
pour $x \in $ [2 ; 15] :
$$\textrm{CT}(x) = 105\left[x+ 4 - 3\ln (x)\right]$$
et le coût moyen de production d'une unité est, pour $x \in $ [2 ; 15]
$$\textrm{CM}(x) = \cfrac{\textrm{CT}(x)}{1000x}$$
\noindent $\triangleright~$\textbf{1)} On note CM' la dérivée de la
fonction CM.\\
Calculer CM'($x$) et démontrer que CM'($x$) a le même signe que
$\ln (x) - \cfrac{7}{3}$ pour tout $x \in$ [ 2 ; 15].\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} Résoudre sur l'intervalle [0
;~ +~ $\infty$[ l'inéquation $\ln (x) - \cfrac{7}{3} „ 0$.\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{3) a)} Étudier les variations de
CM sur l'intervalle [2 ; 15].\\
\textbf{b)} Tracer la représentation graphique de CM dans le repère
utilisé dans la partie \textbf{A}.\\
\textbf{c)} À l'aide du graphique, déterminer l'ensemble des valeurs
de $x$ pour lesquelles l'entreprise peut faire un bénéfice. (On donnera la
réponse sous forme d'un intervalle dont les bornes sont des entiers.)\\
\footnote{\scalebox{1 -1}{Amérique du Nord juin 1999}}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Sujet 3 Guadeloupe-Guyane-Martinique juin 1999 %%
\noindent \doublebox{TES
\hspace{2.9cm}\Large{\textbf{Baccalauréat juin 1999}}
\hspace{2.9cm}\normalsize{}}\\
\noindent \textbf{Exercice 1}\hspace{2cm}4 points\\
\textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}\\
\noindent Le plan est rapporté à un repère orthonormal, dont les
unités sont 1 cm sur chaque axe. Construire ce repère sur votre copie en
plaçant l'origine du repère en bas et à gauche.\\
\noindent \textbf{Partie A}\\
\noindent \textbf{a)} Représenter la droite (D$_{1}$) d'équation $3x+
y = 30$, la droite (D$_{2}$) d'équation $x + 4y = 32$ et la droite (D$_{3}$)
d'équation $x + y = 10$.\\
\textbf{b)} Déterminer au moyen d'un calcul les coordonnées du point
d'intersection I des droites (D$_{1}$) et (D$_{2}$).\\
\textbf{c)} Repérer graphiquement à l'aide d'une croix (« $\times$ »)
les points du plan dont les coordonnées sont des nombres entiers positifs, $x$
et $y$, qui vérifient de plus les conditions :
$$3x + y ¾ 30~ ;~ x + 4y ¾ 32~;~x + y „ 10.$$
\noindent \textbf{ Partie B}\\
\noindent Un artisan fabrique deux sortes de poupées : des petites
poupées et des grandes poupées.\\
Les petites poupées nécessitent 3 heures de travail et les grandes
poupées une heure seulement. L'artisan, avec ses ouvriers, peut travailler 30
heures au plus par jour.\\
L'artisan ne dispose que de 32 mètres de tissu par jour. Il lui faut
1 mètre de tissu pour habiller une petite poupée et 4 mètres pour habiller une
grande poupée.\\
On désigne par $x$ le nombre de petites poupées et par $y$ le nombre
de grandes poupées produites dans une journée. L'artisan s'impose de fabriquer
au moins 10 poupées par jour.\\
On admet que les contraintes de l'énoncé correspondent aux conditions
suivantes :
$$\begin{array}{l l}
x ~\textrm{et}~ y~ \textrm{sont deux nombres entiers positifs}& 3x+y
¾
30~;\\
x „ 0 ~;& x + 4y ¾ 32\\
y „ 0~;& x + y „ 10.\\
\end{array}$$
Le nombre total de poupées produites dans une journée de travail est
représenté par $S = x +y$.\\
L'artisan veut que sa production journalière $S$ soit maximum.\\
Combien de poupées de chaque sorte doit-il fabriquer ?\\
\noindent \textbf{Exercice 1}\hspace{2cm}4 points\\
\textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité}\\
Une suite réelle ( U$_{n})_{n \in \N}$ est définie par son premier
terme U$_{0}$ strictement positif et par la relation de récurrence
suivante :
$$\textrm{U}_{n+1} - \textrm{U}_{n} = - 0,04 \textrm{U}_{n}.$$
\noindent \textbf{Partie A}\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{1)} En fonction de U$_{0}$,
calculer U$_{1},~ \textrm{U}_{2}$ et U$_{3}$.\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} Démontrer que cette suite est
une suite géométrique de premier terme U$_{0}$ et de raison $q$ que l'on
déterminera.
\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{3)} Quel est son sens de variation ? \\
\noindent $\triangleright~$\textbf{4)} Exprimer U$_{n}$ en fonction
de U$_{0}$ et de $n$.\\
\noindent \textbf{Partie B}\\
\noindent Le 1$^{\textrm{er}}$ janvier 1997, la population d'une
commune rurale était de 3000 personnes. On admet que cette population a
diminué de 4 \% par an. \\
\noindent $\triangleright~$\textbf{1)} Quelle a été la population de
cette commune au 1$^{\textrm{er}}$ janvier 1999 ?\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} Quelle sera la population de
cette commune au 1$^{\textrm{er}}$ janvier 2000 ?\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{3)} À partir de quelle année la
population chutera-t-elle à moins de 2 000 personnes ?\\
\noindent \textbf{Exercice 1}\hspace{2cm}5 points\\
\textbf{Commun à tous les candidats}\\
\noindent Le tableau suivant donne la moyenne $y$ des maximums de
tension artérielle en fonction de l'âge $x$ d'une population donnée.
$$\begin{array}{| c | c | c | c | c | c | c |}\hline
\textrm{\^Age}~ x& ~~36~~&~~ 42~~&~~ 48~~&~~ 54~~&~~ 60~~ &~~ 66~~\\
\hline
\textrm{Tension}~ y& 12& 13,5& 12,6& 14,3& 15,4& 15\\ \hline
\end{array}$$
\noindent $\triangleright~$\textbf{1)} Représenter graphiquement le
nuage de points $M(x~;~ y)$ dans un repère orthogonal. On prendra pour unités
graphiques 0,5 cm pour 1 an en abscisse et 3 cm en ordonnée pour l'unité de
tension artérielle, l'origine correspond au point 1 de coordonnées (30 ; 10).\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} Dans cette partie, vous
pourrez utiliser votre calculatrice.\\
\textbf{a)} Calculer à $10^{-2}$ près le c¦fficient de corrélation
entre $x$ et $y$. On admet qu'un ajustement par la méthode des moindres
carrés est justifié.\\
\textbf{b)} Déterminer l'équation de la droite de régression de $y$
en $x$ et la représenter (les c¦fficients seront donnés à 0,001 près).\\
\textbf{c)} Une personne de 70 ans a une tension de 16,1. Quelle
serait sa tension théorique en utilisant la droite de régression ? Comparer
avec la tension réelle.\\
\textbf{d)} Compléter le tableau de l'annexe en utilisant les
valeurs de « $a$ » et de « $b$ » obtenues pour la droite de régression.\\
Calculer la somme des « carrés » de la dernière colonne, associée à
cet ajustement (calcul de la somme des résidus associés à cet ajustement).\\
\textbf{Annexe :}\\
À rendre avec la copie (après l'avoir complétée)
\begin{center}
TABLEAU
$ a = \cdots \cdots b = \cdots \cdots$ \end{center}
$$\begin{array}{| c| c| c| c| c|}\hline
x_{i}& y_{i}& ax_{i} + b& y_{i} - (ax_{i} + b)& \left[y_{i} - (ax_{i}
+ b)\right]^2\\ \hline
36 & 12 & & & \\ \hline
42 & 13,5 & & & \\ \hline
48 & 12,6 & & & \\ \hline
54 & 14,3 & & & \\ \hline
60 & 15,4 & & & \\ \hline
66 & 15 & & & \\ \hline
\end{array}$$
Somme des « carrés » de la dernière colonne : $\cdots \cdots$.\\
\noindent \textbf{PROBLÈME}\hspace{2cm} 11 points\\
\textit{Le but du problème est l'étude d'une fonction et le calcul
d'une aire liée à cette fonction.}\\
\noindent \textbf{Partie A}\\
La courbe ($\Gamma$) ci-jointe (annexe 1) est la représentation
graphique dans un repère orthonormal d'une fonction $g$ définie et dérivable
sur ]0, +~$\infty$[.\\
Les points A$\left( 1 ~;~ \cfrac{3}{2}\right)$ et B $\left(\textrm{e}~ ;~
\cfrac{\textrm{e}^2}{2}\right)$ appartiennent à la courbe ($\Gamma$) et la
tangente en A à ($\Gamma$) est parallèle à l'axe des abscisses.\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{1)} Déterminer $g(1)~ ;~ g(\textrm{e})$
et $g'( 1)$.\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} Déterminer les réels $a$ et
$b$, sachant que la fonction $g$ est définie sur ]0 ; +~$\infty$[ par une
expression de la forme :
$$g(x) = \cfrac{x^2}{2} + a + b \ln x.$$
\noindent $\triangleright~$\textbf{3)} Sachant que $g (x) = \cfrac{x^2}{2} +
1 - \ln x$, retrouver au moyen d'un calcul, le sens de variation de
$g$.
(Le calcul des limites n'est pas demandé.)\\
En utilisant ce dernier résultat, étudier le signe de $g$ sur ]0 ; +~$\infty$[.
\\
\noindent \textbf{Partie B}\\
On considère la fonction $f$ définie sur ]0 ; +~$\infty$[ par $f(x) =
\cfrac{\ln x}{x} + \cfrac{x}{2}.$\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{1)} Calculer les limites de $f$ en
0 et en +~$\infty$.\\
(On admet le résultat suivant : limite en +~$\infty$ de $\cfrac{\ln
x}{x} = 0$.)\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} Calculer la dérivée $f'$ de
$f$.\\
Vérifier que $f'(x) = \cfrac{g(x)}{x}$ pour tout réel positif $x$.\\
En déduire les variations de $f$.\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{3)} Montrer que la représentation
graphique ($\mathcal{C}$) de $f$ dans un repère orthonormal admet deux
asymptotes que l'on précisera.\\
La courbe ($\mathcal{C}$) de $f$ est donnée en annexe dans un repère
orthonormal (0 ;~$\overrightarrow{\imath} ,~\overrightarrow{\jmath}$), unité
2 cm sur chaque axe.\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{4)} On admet l'existence d'un réel
$\alpha$ unique, appartenant à $\left[\cfrac{1}{2}~;~1\right]$
tel que $f(\alpha) = 0$. Que représente $\alpha$ pour la courbe
($\mathcal{C}$) ? Placer sur la courbe ($\mathcal{C}$) le point I d'abscisse
$\alpha$. Montrer que $\ln \alpha = -~\cfrac{\alpha^2}{2}$. En déduire que
$f'(\alpha) = \cfrac{1 + \alpha^2}{\alpha^2}$.\\
\noindent \textbf{Partie C}\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{1)} Calculer la dérivée de la
fonction $h$ définie sur ]0 ; +~$\infty$[ par $h(x) = (\ln x)^2$ .\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} En déduire le calcul de J =
$\int\limits_{1}^{t} \left(\cfrac{\ln x}{x}\right)\: \textrm{d}x.$
\noindent $\triangleright~$\textbf{3)} Hachurer sur le graphique
donné en annexe le domaine plan limité par ($\mathcal{C}$), l'axe des
abscisses, et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \textrm{e}$.\\
Déterminer l'aire, en cm$^2$ , de ce domaine.\\
\newpage
\begin{center}
\textit{Annexe} 2\\
\textit{À rendre avec la copie (après l'avoir complétée)\\
Courbe} $(\Gamma$)\\
\vspace{1cm}
\begin{pspicture}(4,5.5)
\psline{->}(0,-0.5)(0,5.5) \psline{->}(-1,0)(4,0)
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,1.5)
\psline[linestyle=dashed](2.718,0)(2.718,3.695)
\psline[linestyle=dashed](0,1.5)(1,1.5)
\rput(1,1.65){A} \rput(2.6,3.8){B} \rput(-0.3,-0.3){O}
\rput(4,-0.3){$x$} \rput(-0.3,5.2){$y$}
\psplot[plotpoints=1000]{0.2}{3}{x 2 exp 2 div 1 add x ln sub}
\end{pspicture}
\vspace{3cm}\\
\textit{Courbe} ($\mathcal{C}$)\\
\begin{pspicture}(6,5.5)
\psline{->}(-1,2)(6,2)
\psline{->}(0,0)(0,5.5)
\rput(-0.3,1.7){O} \rput(6,1.8){$x$} \rput(-0.3,5.2){$y$}
\rput(2.2,1.8){$\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=1000]{0.4}{5.5}{x 2 div x ln x div add}
\end{pspicture}
\end{center}
\footnote{\scalebox{1 -1}{Antilles juin 1999}}\\
\newpage
%% Sujet 4 %%%%
%% Centres étrangers Groupe 1 juin 1999 %%
\noindent \doublebox{TES
\hspace{2.9cm}\Large{\textbf{Baccalauréat juin 1999}}
\hspace{2.9cm}\normalsize{}}\\
\noindent \textbf{Exercice 1}\hspace{2cm}4 points\\
\textit{Aucun détail des calculs effectués à la calculatrice n'est
exigé dans cet exercice.}\\
Le tableau ci-dessous donne l'évolution du chiffres d'affaires
réalisé à l'exportation par une entreprise.
$$\begin{array}{*{10}{|c|}}\hline
\textrm{Année}& 1990& 1991& 1992& 1993& 1994& 1995& 1996& 1997&
1998\\ \hline
x_{1}& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ \hline
y_{i}& 100& 101& 107& 122& 127& 139& 136& 157& 165\\ \hline
\end{array}$$
$x_{1}$ désigne le rang de l'année,\\
$y_{i}$ désigne l'indice du chiffre d'affaires à l'exportation
rapporté à la base 100
en 1990.\\
\noindent~$\triangleright~$\textbf{1) a)} Représenter le nuage de points
$M_{i}(x_{i~}~;~ y_{i})$ associé
à la série double dans un repère orthogonal. On prendra :\\
$\bullet$ pour origine le point $M_{0}(0~;~ 100)$,\\
$\bullet$ pour unités : 1,5 cm sur l'axe des abscisses,\\
\hspace{4,5cm}2 cm pour 10 points d'indice sur l'axe des ordonnées.\\
\textbf{b)} Calculer les coordonnées du point moyen G associé à cette
série statistique et placer ce point sur le graphique. (On donnera la valeur
décimale arrondie au dixième de l'ordonnée de G.)\\
\noindent~$\triangleright~$\textbf{2)} Déterminer la valeur décimale
arrondie au centième du c¦fficient de corrélation linéaire de la série
double. Ce résultat permet-il d'envisager un ajustement affine ? Pourquoi ?\\
\noindent~$\triangleright~$\textbf{3)} Soit $\mathcal{D}$, la droite
d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.\\
\textbf{a)} Donner la valeur décimale arrondie au dixième du
c¦fficient directeur de la droite $\mathcal{D}$.\\
\textbf{b)} En utilisant les coordonnées du point moyen G, donner
une équation de la droite $\mathcal{D}$.\\
Tracer cette droite sur le graphique précédent.\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{4)} En supposant que l'évolution
du chiffre d'affaires se poursuive de la même façon au cours des années
suivantes, estimer l'indice du chiffre d'affaires de cette entreprise en l'an
2001 (on en donnera la valeur arrondie à l'unité).\\
\noindent \textbf{Exercice 2}\hspace{2cm}5 points\\
\textbf{(obligatoire)}\\
Une étude statistique indique que 95 \% des téléviseurs fabriqués par
une entreprise sont en état de fonctionnement. On fait subir à chaque
appareil un test de contrôle.\\
On constate que :\\
$\bullet$ quand un appareil est en état de fonctionnement, il est
accepté dans 96 \% des cas à l'issue du test ;\\
$\bullet$ quand un appareil n'est pas en état de fonctionnement, il
est néanmoins accepté dans 8 \% des cas à l'issue du test.\\
On choisit au hasard un téléviseur fabriqué par l'entreprise.\\
On définit les événements suivants :\\
F : « le téléviseur est en état de fonctionnement » ;\\
T : « le téléviseur est accepté à l'issue du test » ;\\
T : « le téléviseur est refusé à l'issue du test ».\\
Ainsi :\\
$\bullet$ la probabilité de l'événement F, notée P(F) est 0,95 ;\\
$\bullet$ la probabilité P(T/F) qu'un téléviseur soit accepté à
l'issue du test sachant qu'il est en état de fonctionnement est 0,96.\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{1)} Calculer la probabilité que le
téléviseur ne soit pas en état de fonctionnement.\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{2) a)} Calculer la probabilité
qu'un téléviseur soit refusé à l'issue du test sachant qu'il est en
état de fonctionnement.\\
\textbf{b)} Calculer la probabilité que le téléviseur soit refusé à
l'issue du test et qu'il soit en état de fonctionnement.\\
\textbf{c)} Calculer la probabilité que le téléviseur soit refusé à
l'issue du test et qu'il ne soit pas en état de fonctionnement.\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{3)} En déduire la probabilité pour
que le téléviseur soit refusé à l'issue du test.\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{4)} Quelle est la probabilité pour
qu'un téléviseur soit en état de fonctionnement sachant qu'il est refusé
à l'issue du test ? (On donnera la valeur décimale arrondie au millième du
résultat.) \\
\noindent \textbf{Exercice 2}\hspace{2cm}5 points\\
\textbf{(spécialité)}\\
Le salaire annuel d'un technicien s'élevait pour l'année 1998
à 90\:000 F.\\
Chaque année son employeur décide de l'augmenter de 2 \% et de lui
allouer en plus 5\:000 F.\\
On désigne par S$_{0}$ le salaire du technicien pour l'année 1998.
Pour tout entier naturel $n$, on désigne par S$_{n}$ son salaire pour l'année
(1998 + $n$).\\
Par exemple : S$_{2}$ est le salaire du technicien pour l'année
2000.\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{1)} Calculer S$_{1}$ et S$_{2}$.\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} Pour tout entier naturel $n$,
exprimer S$_{n+1}$ en fonction de S$_{n} $.\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{3)} On définit la suite (U$_{n}$)
par U$_{n}$ = S$_{n}$ + 250\:000 pour tout entier naturel.\\
\textbf{a)} Calculer U$_{0}$.\\
\textbf{b)} Montrer que la suite (U$_{n}$) est une suite géométrique
de raison 1,02.\\
\textbf{c)} Exprimer U$_{n}$ en fonction de $n$.\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{4) a)} Exprimer S$_{n}$ en
fonction de $n$.\\
\textbf{b)} En déduire le salaire prévu pour l'année 2005.\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{5)} À partir de quelle année le
salaire de ce technicien aura-t-il doublé ?\\
\noindent \textbf{Problème}\hspace{2cm}11 points\\
\noindent L'objet de ce problème est l'étude d'une fonction et le
tracé de sa représentation graphique (partie B) s'appuyant sur l'étude
d'une fonction auxiliaire (partie A).\\
On calculera enfin une aire (partie C). On prendra soin de faire figurer sur la
copie les calculs intermédiaires conduisant aux résultats.\\
\noindent \textbf{Partie A}\\
\noindent~$\triangleright~$\textbf{1)} Soient $a,~ b$ et $c$ des nombres réels.
On définit une fonction $g$ sur $\R$ par $g(x) = (ax + b)e^{-x} + c$.
On note $g'$ la fonction dérivée de $g$.\\
\textbf{a)} Calculer $g'(x)$.\\
\textbf{b)} Le tableau de variation de $g$ est le suivant :\\
\begin{center}
\begin{pspicture}
\psset{xunit=10mm,yunit=10mm}
\begin{pspicture}(-0.5,0.4)(8.5,-3)
\psline(-0.5,0)(8.5,0) \psline(-0.5,-1)(8.5,-1) \psline(0,0.4)(0,-3)
\psline{->}(1,-2.5)(5,-1.2) \psline{->}(6.3,-1.2)(8.2,-2.2)
\psline(6,0)(6,-1)
\rput(-0.5,0.2){$x$} \rput(-0.5,-0.5){$g'(x)$} \rput(-0.5,-2){$g(x)$}
\rput(0.4,0.2){$-~\infty$} \rput(2.5,0.2){0} \rput(4,0.2){1}
\rput(6,0.2){2}
\rput(8.2,0.2){$+~\infty$}
\rput(3.5,-0.5){+} \rput(6,-0.5){0} \rput(7,-0.5){-}
\rput(0.4,-2.6){$-~\infty$} \rput(2.5,-2){1} \rput(4,-1.6){2}
\rput(5.6,-1.3){$e^{-2} + 2$} \rput(8.3,-2.1){2}
\end{pspicture}
\end{center}
En utilisant les données numériques de ce tableau, établir que $a =
1,~ b = -~1$ et $c = 2$.\\
Ainsi, pour la suite du problème : $g(x) = (x - 1 )e^{-~x} + 2$.\\
\noindent~$\triangleright~$\textbf{2) a)} Montrer que l'équation $g (x) = 0$
admet une solution unique dans l'intervalle $[ -~1~ ;~ 0]$ . On note
$\alpha$ cette solution.\\
\textbf{b)} Déterminer à l'aide de la calculatrice la valeur
décimale arrondie au dixième de $\alpha$.\\
\noindent~$\triangleright~$ \textbf{3)} Étudier le signe de $g(x)$ pour $x$
appartenant à $\R$.\\
\noindent \textbf{Partie B}\\
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = 2 x + 1 - xe^{- x}$.\\
\noindent~$\triangleright~$\textbf{1) a)} Déterminer la limite de $f$ en
$+~\infty$ (on admettra que $\lim\limits_{x \to +~\infty}
\cfrac{e^x}{x} = +~\infty$).\\
\textbf{b)} Déterminer la limite de $f$ en $-~\infty$ (on pourra
mettre $x$ en facteur dans l'expression de $f(x)$).\\
\noindent~$\triangleright~$\textbf{2) a)} Soit $f'$ la fonction dérivée de
$f$. Montrer que $f'(x) = g (x)$.\\
\textbf{b)} Dresser, en le justifiant, le tableau de variation de $f$
sur $\R$.\\
\noindent~$\triangleright~$\textbf{3)} Dans le plan muni d'un repère
orthonormal $(0~ ;~ \overrightarrow{\imath}~,~\overrightarrow{\jmath})$, on
appelle $(\mathcal{C})$ la représentation graphique de $f$ et $(\mathcal{D})$
la droite d'équation $y = 2x + 1$.\\
\textbf{a)} Déterminer $\lim\limits_{x \to +~\infty} [f(x) - (2x + 1)]$.\\
\textbf{b)} Donner une interprétation graphique de ce résultat.\\
\textbf{c)} Étudier la position de $(\mathcal{C})$ par rapport à
$(\mathcal{D})$.\\
\textbf{d)} Tracer $(\mathcal{D})$ et $(\mathcal{C})$ dans le plan
muni du repère orthonormal $(0~ ;~ \overrightarrow{\imath}~,~\overrightarrow
{\jmath})$. On prendra pour unité graphique 2 cm.
\noindent \textbf{Partie C}\\
Soient $H$ la fonction définie sur $\R$ par $H(x) = -~e^{- x}(1 +
x)$ et $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = xe^{ - x}$.\\
\noindent~$\triangleright~$\textbf{1)} Montrer que la fonction $H$ est une
primitive sur $\R$ de la fonction $h$.\\
\noindent~$\triangleright~$\textbf{2)} Hachurer sur le graphique précédent le
domaine limité par la courbe $(\mathcal{C})$, la droite $(\mathcal{D})$ et
les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$.\\
\noindent~$\triangleright~$\textbf{3)} Calculer l'aire $S$ en cm$^2$ du domaine
hachuré.\\
\footnote{\scalebox{1 -1}{Centres étrangers 1999}}\\
\newpage
%% Sujet 5 Polynésie juin 1999 %%
\noindent \doublebox{TES
\hspace{2.9cm}\Large{\textbf{Baccalauréat juin 1999}}
\hspace{2.9cm}\normalsize{}}\\
\noindent \textbf{Exercice 1}\hspace{2cm}4 points\\
\textbf{Commun à tous les candidats}\\
On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle
[1 ; 6]. Sa courbe représentative ($\mathcal{C}$) dans un repère
orthogonal est donnée ci-dessous.\\
La courbe ($\mathcal{C}$) passe par les points
A(1 ; 0), B(2 ; 1), D(4 ; 4) et E(6 ; 1).
Les tangentes à la courbe aux points A et D sont parallèles à l'axe
des abscisses.\\
La tangente à la courbe au point E passe par le point F(5 ; 5).
\begin{center}
\begin{pspicture}(6,5)
\psgrid[subgriddiv=1]
\rput(0.8,0.2){A} \rput(1.8,1.2){B} \rput(2.5,2.7){$\mathcal{C}$}
\rput(4.2,4.2){D} \rput(6.2,0.9){E}
\psline{->}(0,0)(1,0) \psline{->}(0,0)(0,1)
\pscurve(1,0)(1.5,0.38)(2,1)(3,3)(4,4)(5,3.3)(6,1)
\psline{<->}(3.5,4)(4.5,4) \psline(6,1)(5,5)
\psline{->}(6,1)(5.5,3)
\psline{<->}(0,0)(2,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{1cm}
\noindent \textbf{Partie I}\\
Par lecture graphique, résoudre l'équation $f(x) = 0$ et donner le
signe de $f(x)$ sur l'intervalle [ 1 ; 6].\\
\noindent \textbf{Partie II}\\
On désigne par $g$ la fonction définie sur l'intervalle ] 1 ; 6 ] par
$g(x) = \cfrac{1}{f(x)}$ et ($\Gamma$) sa courbe représentative dans
un repère orthonormal d'unité graphique 2 cm.\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{1) a)} Calculer $g(2),~ g(4)$ et
$g(6)$.\\
\textbf{b)} Déterminer la limite de $g(x)$ quand $x$ tend vers 1.\\
Que peut-on en déduire pour la courbe ($\Gamma$) ?\\
\textbf{c)} Dresser le tableau de variation de la fonction $g$ sur
l'intervalle ] 1 ; 6 ] en donnant les justifications nécessaires.\\
\textbf{d)} Déterminer $f'(4)$ ; en déduire $g'(4)$.\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} Tracer la courbe ($\Gamma$)
ainsi que son asymptote et la tangente au point d'abscisse 4.\\
\noindent \textbf{Exercice 2}\hspace{2cm} 4 points\\
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}\\
Le tableau suivant donne pour les années indiquées, le nombre de
demandes d'emploi en fin d'année dans une région.\\
\begin{center}
\begin{tabular}{|l |r @{\:}l |r@{\:} l|}\hline
& \multicolumn{2}{|c |}{1996} & \multicolumn{2}{| c |}{1997}\\
\hline
Total & ~~~85 &079~~~ & ~~~85 & 240~~~\\ \hline
Moins de 25 ans &22 &238 & 20&276\\
De 25 ans à 39 ans & 54 & 719 & 55 & 994\\
50 ans et plus& 8 & 122 & 8 & 970\\ \hline
Hommes & 39 & 998 & 39 & 766\\
Moins de 25 ans & 10 & 176 & 9 & 170\\
De 25 ans à 39 ans& 25 & 528 & 25 & 853\\
50 ans et plus& 4 &284 & 4 & 743\\ \hline
Femmes & 45 & 091 & 45 & 474\\
Moins de 25 ans & 12 & 062 & 11 & 106\\
De 25 ans à 39 ans & 29 & 191 & 30& 141\\
50 ans et plus & 3 & 838 & 4 & 227\\ \hline
\end{tabular}\\
\tiny{Source: ANPE-INSEE Poitou-Charentes.}\normalsize{}\\
\end{center}
\noindent \textit{Les résultats des calculs seront donnés sous forme
approchée à $10^{- 2}$ près par défaut.}\\
\noindent$\triangleright$~\textbf{1) a)} Déterminer le pourcentage d'évolution
du total des demandes d'emploi entre 1996 et 1997.\\
\textbf{b)} Le nombre de demandes d'emploi est en baisse pour une
tranche d'âge seulement.\\
Calculer le pourcentage d'évolution des demandes d'emploi des hommes
pour cette tranche d'âge.\\
\noindent$\triangleright$~\textbf{2)} En 1996, une entreprise est
subventionnée pour employer une personne de moins de 25 ans.
Elle choisit une personne au hasard parmi les demandeurs d'emploi
concernés.
Tous les choix sont équiprobables.\\
Quelle est la probabilité que la personne embauchée soit une femme ?\\
\noindent$\triangleright$~\textbf{3)} L'entreprise désire créer un emploi en
1998 et choisit au hasard une personne dans les demandeurs d'emploi
de 1997. Tous les choix sont équiprobables.
Calculer la probabilité $p$ que la personne embauchée soit un homme.\\
Vérifier que 0,46 est une valeur approchée par défaut à $10^{-2}$ près de
$p$.\\
\noindent$\triangleright$~\textbf{4)} Dans cette question, on
prendra $p$ égal à 0,46.\\
L' entreprise choisit trois demandeurs d'emploi de 1997.\\
\textit{Les choix sont indépendants et on assimilera ce choix à un tirage avec
remise.}\\
\textbf{a)} Quelle est la probabilité qu'elle choisisse trois hommes ?\\
\textbf{b)} Quelle est la probabilité qu'elle choisisse un homme et un
seul ?\\
\textit{On pourra utiliser un arbre pondéré.}\\
\noindent \textbf{Exercice 2}\hspace{2cm}4 points\\
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}\\
Pour financer ses études, une étudiante fait du démarchage par
téléphone pour vendre un produit qui lui rapporte 20 francs. Elle ne
peut vendre qu'un produit par appel.\\
Lorsqu'elle compose un numéro de téléphone, trois possibilités se
présentent :\\
$\bullet$~ l'événement $A$ « Personne ne répond » de probabilité
$p(A)$ égale à 0,3~;\\
$\bullet$~ l'événement $B$ « Le répondeur téléphonique diffuse un
message » avec une probabilité $p(B)$ égale à 0,1~ ;\\
$\bullet$~l'événement $C$ « Un correspondant répond » de probabilité
$p(C)$ égale à 0,6.\\
\noindent$\triangleright$~\textbf{1)} La probabilité que l'étudiante vende son
produit sachant qu'un correspondant répond à son appel est égale à 0,4.\\
Les probabilités qu'elle vende son produit dans les autres cas sont
nulles.\\
Vérifier que la probabilité que l'étudiante réalise une vente lors
d'un appel téléphonique fait au hasard est égale à 0,24.\\
\noindent$\triangleright$~\textbf{2)} Lorsque personne ne répond à son appel
téléphonique, l'étudiante débourse 0 franc.\\
Lorsqu'un répondeur téléphonique diffuse un message, l'étudiante
débourse 1 franc.\\
Lorsqu'un correspondant répond, l'appel coûte 1 franc et dans ce cas \\
\hspace*{0,9cm}-- si l'étudiante vend son produit, qui lui
rapporte 20 francs, elle aura donc fait un gain de + 19 francs,\\
\hspace*{0,9cm}-- si elle ne vend pas son produit, elle aura
perdu 1 franc.\\
On considère la variable aléatoire $X$ correspondant au gain
algébrique possible lors d'un appel téléphonique de l'étudiante.\\
\textbf{a)} Démontrer que la probabilité que le gain algébrique soit
égal à -1 est 0,46.\\
\textbf{b)} Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire
$X$.\\
\textbf{c)} Calculer l'espérance mathématique de $X$.\\
\noindent$\triangleright$~\textbf{3)} On suppose que l'étudiante compose
successivement de manière indépendante cinq numéros de téléphone au
hasard.\\
Déterminer la probabilité qu'elle réalise exactement trois ventes.\\
\noindent \textbf{PROBLÈME }\hspace{2cm} 12 points\\
Le plan est rapporté à un repère orthonormal. On prendra pour unité
graphique 2 cm.\\
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle
$[0~;~+~\infty[$ par
$$f(x) = (-~x + 4)e^{x- 1}~ \textrm{et}~ g(x) = \ln\left(\cfrac{x + 6}
{2x + 2}\right)$$
Dans le repère choisi, on appelle $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de
$f$ et $(\Gamma)$ la courbe représentative de $g$.\\
\noindent \textbf{Partie A}\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{1)} Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$
tend vers $+~\infty$.\\
\noindent$\triangleright~$\textbf{2)} Vérifier que la fonction dérivée de $f$
est définie pour tout $x$ positif par $f'(x) = (- x + 3)e^{x - 1}$ .\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{3)} Étudier le sens de variation de la
fonction $f$ et dresser son tableau de variation. On précisera $f(0),~
f'(0),~f(3),~ f'(3).$\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{4)} Tracer la courbe $(\mathcal{C})$.\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{5)} Déterminer les réels $a$ et $b$ tels
que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $[0~;~+~\infty[$ par $F(x) =
(ax + b)e^{x - 1}$ soit une primitive de la fonction $f$.\\
\noindent \textbf{Partie B}\\
On considère la fonction $u$ définie sur l'intervalle
$[0~;~+~\infty[$ par
$$u(x) = \cfrac{x + 6}{2x + 2}$$
\noindent~$\triangleright$\textbf{1)} Vérifier que, pour tout $x$ positif
$u(x)$ est strictement positif.\\
\noindent~$\triangleright$\textbf{2) a)} Déterminer la limite de $u(x)$ quand
$x$ tend vers $ +~\infty$.\\
\textbf{b)} Étudier le sens de variation de $u$.\\
Dresser le tableau de variation de $u$ et retrouver le résultat de la
question \textbf{1)} de la partie \textbf{B}.\\
\noindent~$\triangleright$\textbf{3)} En utilisant les résultats précédents,
déterminer le sens de variation de la fonction $g$ et démontrer que
la courbe $(\Gamma)$ admet une asymptote $(D)$ au voisinage de $+~\infty$ dont
on donnera une équation.\\
\noindent~$\triangleright$\textbf{4)} Tracer la courbe $(\Gamma)$ et la droite
$(D)$ sur le même graphique que celui de la partie A.\\
\noindent~$\triangleright$\textbf{5)} Soit $G$ la fonction définie sur
l'intervalle $[0~;~+~\infty[$ par
$$G(x) = (x+ 6)\ln(x + 6) - (x + 1)\ln(2x + 2).$$
Démontrer que $G$ est une primitive de la fonction $g$ sur l'intervalle
$[0~;~+~\infty[$.\\
\noindent \textbf{Partie C}\\
\noindent~$\triangleright$\textbf{1)} Résoudre, à l'aide des représentations
graphiques faites, l'inéquation $g(x) ¾ f (x) .$\\
\noindent~$\triangleright$\textbf{2)} Calculer l'aire $\mathcal{A}$ en cm$^2$ du
domaine du plan constitué des points $M(x~;~ y)$ tels que :
$$2 ¾ x ¾ 3~ \textrm{et}~ g(x) ¾ y ¾ f(x).$$
Donner l'arrondi de $\mathcal{A}$ à l'unité près.\\
\footnote{\scalebox{1 -1}{Polynésie 1999}}\\
\newpage
%%%% Sujet 6 %%%%
%%%% La Réunion juillet 1999 %%%%
\noindent \doublebox{TES
\hspace{2.9cm}\Large{\textbf{Baccalauréat juin 1999}}
\hspace{2.9cm}\normalsize{}}\\
\noindent \textbf{Exercice 1}\hspace{2cm}4 points\\
Une entreprise est équipée d'ordinateurs de trois modèles différents.\\
30 \% sont de marque (M$_1$), 50 \% sont de marque (M$_2$) et 20 \% de marque
(M$_3$).\\
On choisit un appareil au hasard. Tous les choix sont équiprobables.
Pour $i$ égal à 1, 2 ou 3, on appelle M$_i$ l'événement : « l'appareil choisi est
de marque (M$_i$) ».\\
On note $p$(M$_i$) la probabilité de l'événement M$_i$.\\
on a donc $p$(M$_{1}$) = 0,3 ; $p$(M$_{2}$) = 0,5 et $p$(M$_{3}$) = 0,2.\\
On note T l'événement : « l'appareil choisi tombe en panne » et $p$(T) la
probabilité de cet événement.\\
On suppose que si un appareil tombe en panne, il est réparé et qu'il
fonctionne alors correctement.\\
La probabilité $p_1$(T) qu'un appareil de marque (M$_1$) tombe en panne
est $\cfrac{1}{30}$.\\
La probabilité $p_2$(T) qu'un appareil de marque (M$_2$) tombe en panne est
$\cfrac{1}{20}$.\\
La probabilité $p_3$(T) qu'un appareil de marque (M$_3$) tombe en panne est
$\cfrac{1}{40}$.\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{1) a)} Traduire toutes les données sur un
arbre pondéré.\\
\textbf{b)} Calculer la probabilité que l'appareil choisi soit de marque
(M$_2$) et qu'il tombe en panne.\\
\textbf{c)} Vérifier que la probabilité qu'un ordinateur tombe en panne est
égale à 0,04.\\
\textbf{d)} Quelle est la probabilité que l'appareil soit de marque (M$_2$)
sachant qu'il est tombé en panne ?\\
\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} \textit{Dans cette question, on donnera le
résultat à} 0, 1 \textit{près}.\\
Un service de l'entreprise possède quatre ordinateurs.\\
On suppose que les pannes éventuelles de ces ordinateurs sont indépendantes
deux à deux.\\
Quelle est la probabilité qu'aucun des quatre ordinateurs ne tombe en panne ?\\
\noindent \textbf{Exercice 2}\hspace{2cm}5 points\\
\textbf{(obligatoire)}\\
Dans cet exercice aucun détail des calculs statistiques effectués à la
calculatrice n'est demandé.\\
Lors d'une période de sécheresse, un agriculteur relève la quantité totale
(en m$^3$) utilisée par son exploitation depuis le premier jour et donne le
résultat suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{| l *5{| c}| l}\hline
\textbf{Nombre de jours écoulés :} $x_i$ & 1 & 3 & 5 & 8 & 10\\ \hline
\textbf{Volume utilisé (en m}$^3)~: y_i$ & 2,25 & 4,3 & 8 & 17,5 & 27\\ \hline
\end{tabular}\\
\end{center}
Le plan est muni d'un repère orthogonal. On prendra pour unité graphique sur
l'axe des abscisses 1 cm pour un jour et sur l'axe des ordonnées 0,5 cm pour un
mètre-cube.\\
\noindent~$\triangleright~$\textbf{1)} Représenter alors la série statistique
$(x_i~;~ y_i)$.\\
\noindent$\triangleright~$\textbf{2) a)} Donner le c¦fficient de corrélation
linéaire de la série $(x_i~;~ y_i)$ en arrondissant le résultat lu sur la
calculatrice à $10^{-3}$ près.\\
\textbf{b)} Donner l'équation de $\Delta$ droite de régression de $y$ en $x$
obtenue par la méthode des moindres carrés sous la forme $y = \alpha x +
\beta$ où $\alpha$ et $\beta$ sont les arrondis à $10^{-2}$ près des valeurs
lues sur la calculatrice.\\
\textbf{c)} Représenter la droite $\Delta$ sur le graphique.\\
\noindent$\triangleright~$\textbf{3)} Le nuage de points permet d'envisager un
ajustement par la parabole $\mathcal{P}$ qui passe par les points A(1 ;
2,25) ; B(10 ; 27) et qui a pour équation $y = ax^2 + b$ où $a$ et $b$ sont
deux nombres réels.\\
\textbf{a)} Déterminer $a$ et $b$ et donner l'équation de la parabole
$\mathcal{P}$.\\
\textbf{b)} Représenter la parabole $\mathcal{P}$ sur le graphique.\\
\noindent$\triangleright~$\textbf{4)} Dans cette question on compare les deux
ajustements à l'aide du tableau suivant :
$$\begin{array}{ *{6}{| c} | p{2,5cm}}\cline{1-6}
x_i & 1 & 3 & 5 & 8 & 10 & \\\cline{1-6}
y_i & ~~2,25~~ &~~4,3~~ & ~~8~~ & ~~17,5~~ &~~ 27~~ & \\ \hline
\left|y_i - \alpha x^2_i + \beta \right| & 2,54 & 0,91 & 2,71 & & &
\multicolumn{1}{c|}{\textrm{Total T}_1 : }\\ \hline
\left|y_i - a x^2_i + b \right| & 0 & 0,05 & 0,25 & & &
\multicolumn{1}{c|}{\textrm{Total T}_2 : }\\ \hline
\end{array}$$
On ne demande pas de recopier ce tableau.\\
Les deux totaux calculés évaluent pour chaque ajustement la somme des
écarts entre les ordonnées des points du nuage et les ordonnées des points
de même abscisse de l'ajustement.\\
Donner les arrondis à $10^{-1}$ près des deux totaux T$_1 $ et T$_2$ calculés
ci-dessus.\\
(Aucun détail n'est demandé.)\\
En déduire l'ajustement qui parait le mieux adapté.\\
\noindent \textbf{Exercice 2}\hspace{2cm}5 points\\
\textbf{(spécialité)}\\
Dans cet exercice aucun détail des calculs effectués à la calculatrice n'est
demandé. Dans une région de 1000 km$^2$, la superficie des terrains
urbanisés entre 1970 et 1998 est donnée par le tableau suivant :
\begin{center} \begin{tabular}{*{9}{| c}|}\hline
\textbf{Années} & 1970& 1974& 1978& 1982& 1986& 1990& 1994 & 1998\\
\hline
\textbf{Rang :} $x_i$ & 0 & 4 & 8 & 12 & 16 & 20 & 24 &28
\\ \hline
\textbf{Superficie
(en km}$^2$) : $y_i$ & 80 & 94 & 110 & 129 & 152 & 178 & 205 & 236\\
\hline
Y$_i$ & 4,38 & 4,54 & 4,70 & 4,86 & 5,02 & 5,18 & 5,32 & 5,46\\ \hline
\end{tabular}\\ \end{center}
Le nuage de points associé à la série statistique $(x_i~;~ y_i)$ est
représenté ci-dessous.\\
\begin{center} \begin{pspicture}(9,9)
\psgrid[gridlabelcolor=white](0,0)(9,9)
\rput(-0.8,0.5){80} \rput(-0.8,1.5){100} \rput(-0.8,2.5){120} \rput(-0.8,4){150}
\rput(-0.8,6.5){200} \rput(-0.8,9){250}
\rput(1,-0.5){4} \rput(2,-0.5){8} \rput(3,-0.5){12} \rput(4,-0.5){16}
\rput(5,-0.5){20} \rput(6,-0.5){24} \rput(7,-0.5){28}
\rput(8,-0.5){Années}
\rput(0,0.5){*} \rput(1,1.2){*} \rput(2,2){*} \rput(3,2.45){*}
\rput(4,4.1){*} \rput(5,5.4){*} \rput(6,6.75){*} \rput(7,8.3){*}
\rput(4.4,4){A} \rput(7.4,8.3){B}
\rput(1,9){Superficie}
\end{pspicture} \end{center}
\vspace{1cm}
\noindent \textit{Les estimations de superficie demandées dans l'exercice
seront données en} km$^2$ \textit{et arrondies à l'unité}.\\
\noindent$\triangleright~$\textbf{1) a)} Donner l'arrondi $r$ à $10^{-2}$ près
du c¦fficient de corrélation linéaire de la série $(x_i~;~ y_i)$.\\
\textbf{b)} Donner l'estimation E$_1$ obtenue par la méthode des moindres
carrés de la superficie des terrains urbanisés en 2010.\\
\noindent$\triangleright~$\textbf{2)} Au vu de la forme du nuage, on effectue
un autre ajustement.\\
On calc