%@AUTEUR: Jean-Marc Duquesnoy
%@DATE: 13 juin 2008


\documentclass[12pt]{article}
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\parindent0pt

\begin{document}

{\Large \textsf{Le paradoxe de Bertrand traité avec \textcolor{blue}{Scilab}}}

\rule{\textwidth}{0.5mm}
\vspace{1mm}

\begin{bclogo}{\note}{Paradoxe de Bertrand}{blue!10}{0.3}

Pour cette activité, je me suis inspiré d'un document de Charles Suquet,
Professeur à Lille 1, document qu'il a diffusé ces dernières années et
que vous trouverez dans son intégralité ici
\url{http://www-gat.univ-lille1.fr/~suquet/}, il vous suffit de
"cliquer" sur \textsl{Probabiliés géométriques}.

Je le trouve \textbf{superbement bien fait} et vais essayer de
l'exploiter pour des activités géométriques, statistiques et
probabilistes au lycée l'an prochain.

Je n'aborde pas la partie probabiliste du paradoxe et vous invite à le
faire pour donner une justification rigoureuse de chaque probabilité
obtenue selon la méthode choisie de construction de la
corde.\footnote{\textcolor{blue}{je vous conseille la lecture des
documents mis en ligne sur le site de Charles, vous lirez ou relirez les
probabilités de manière très conviviale}}

\end{bclogo}



\begin{multicols}{2}Je vous rappelle l'idée.

On considère un cercle de rayon 1, par exemple le cercle
trigonomètrique, et on y inscrit un triangle équilatéral, qui sera de
côté $\sqrt{3}$.

On trace une corde et on cherche la probabilité que cette corde soit de
longueur plus grande que $\sqrt{3}$.

Nous allons, grâce à \textcolor{blue}{Scilab}, simuler de différentes
façons, comme nous le suggère Charles dans son document, le tracé de
cordes sur le cercle.

Nous allons observer l'évolution des fréquences empiriques en fonction
du nombre de simulations, ceci pour chaque méhode de tracé de cordes
choisi.On constatera des convergences différentes selon la méthode
choisie, d'où le nom de \textsl{Paradoxe de Bertrand}

\includegraphics[scale=0.8]{cercle.eps}

\end{multicols}



\begin{multicols}{2}

On définit la corde en choisissant un point $M$ au hasard sur le cercle
et en traçant la corde $[AM]$ correspondante.




\begin{center}\includegraphics[scale=0.6]{Cas1.eps}\end{center}

On choisit deux points $M$ et $N$ sur le cercle et cela définit la corde
$[MN]$ correspondante.



\begin{center}\includegraphics[scale=0.6]{Cas2.eps}\end{center}

\end{multicols}

\begin{multicols}{2}

On choisit un point $M$ au hasard à l'intérieur du cercle, et on définit
la corde de telle sorte que le point $M$ soit le milieu de la corde,
comme suit 



\begin{center}\includegraphics[scale=0.6]{Cas3.eps}\end{center}

Le milieu de la corde est choisi au hasard de façon que la distance $OM$
suive la loi uniforme sur $[0;1]$.



\begin{center}\includegraphics[scale=0.6]{Cas4.eps}\end{center}
\end{multicols}
\vspace{1cm}

\begin{bclogo}{\note}{Aide}{blue!10}{0.3}

Si l'on veut programmer la première simulation, il faut 
\begin{itemize}
    \item définir le nombre de points que l'on va simuler au total, par exemple $n=100$, 
    
    \item puis simuler $n$ points appartenant au cercle trigo(on pourra
    pour cela simuler les affixes correspondants), 
    
    \item puis calculer les distances entre chaque point simulés et le
    point $A$ d'affixe 1,

    \item puis tester si chaque distance calculée est supérieure à $\sqrt{3}$,

    \item cela permet de calculer, en fonction du nombre de points
    simulés, la fréquence des points dont la distance au point $A$ est
    supérieure à $\sqrt{3}$,

    \item reste à tracer l'évolution de cette fréquence en fonction du
    nombre de points simulés.

\end{itemize}
\end{bclogo}


Voici ce que l'on obtient pour chaque méthode de simulation 
\begin{itemize}

\item La première méthode: Le point $A$ d'affixe 1 est fixé et il suffit
de choisir au hasard un point sur le cercle pour définir la corde

// On fixe le nombre de simulations

%@Commande-1
\(\rightarrow\) \verb|N=10000;|
 

%@Commande-2
\(\rightarrow\) \verb|x=rand(N,1);|
 

%@Commande-3
\(\rightarrow\) \verb|xx=[1:N];|
 


// On simule N points sur le cercle trigo

%@Commande-4
\(\rightarrow\) \verb|for i=1:N,M(i)=exp(%i*2*%pi*x(i));end|
 


// On détermine les cordes de longueur supérieures ou égales à $\sqrt{3}$

%@Commande-5
\(\rightarrow\) \verb|for i=1:N, |

%@Commande-6
\(\rightarrow\) \verb|	if abs(M(i)-1)>=sqrt(3) then |

%@Commande-7
\(\rightarrow\) \verb|		eff(i)=1; |

%@Commande-8
\(\rightarrow\) \verb|	elseif abs(M(i)-1)<sqrt(3) then |

%@Commande-9
\(\rightarrow\) \verb|		eff(i)=0;|

%@Commande-10
\(\rightarrow\) \verb|	end,|

%@Commande-11
\(\rightarrow\) \verb|end|
 


// On calcule les fréquences correspondantes

%@Commande-12
\(\rightarrow\) \verb|for i=1:N, f(i)=(sum(eff(1:i))/i);end|
 

%@Commande-13
\(\rightarrow\) \verb|plot2d(xx,f,style=5)|
 

\begin{center}
 \includegraphics[width=0.7\linewidth]{bertrand-001.eps}
\end{center}

\item La deuxième méthode: On choisit au hasard deux points sur le
cercle pour définir la corde

%@Commande-14
\(\rightarrow\) \verb|N=10000;|
 

%@Commande-15
\(\rightarrow\) \verb|x1=rand(N,1);|
 

%@Commande-16
\(\rightarrow\) \verb|y1=rand(N,1);|
 

%@Commande-17
\(\rightarrow\) \verb|xx1=[1:N];|
 

%@Commande-18
\(\rightarrow\) \verb|for i=1:N,M1(i)=exp(%i*2*%pi*x1(i));P1(i)=exp(%i*2*%pi*y1(i));end|
 

%@Commande-19
\(\rightarrow\) \verb|for i=1:N, |

%@Commande-20
\(\rightarrow\) \verb|	if abs(M1(i)-P1(i))>=sqrt(3) then |

%@Commande-21
\(\rightarrow\) \verb|		eff1(i)=1; |

%@Commande-22
\(\rightarrow\) \verb|	elseif abs(M1(i)-P1(i))<sqrt(3) then |

%@Commande-23
\(\rightarrow\) \verb|		eff1(i)=0;|

%@Commande-24
\(\rightarrow\) \verb|	end,|

%@Commande-25
\(\rightarrow\) \verb|end|
 

%@Commande-26
\(\rightarrow\) \verb|for i=1:N, f1(i)=(sum(eff1(1:i))/i);end|
 


%@Commande-27
\(\rightarrow\) \verb|plot2d(xx1,f1,style=4)|
 



\begin{center}
 \includegraphics[width=0.7\linewidth]{bertrand-002.eps}
\end{center}

\item La troisième méthode: On choisit un point au hasard à l'intérieur
du cercle

%@Commande-28
\(\rightarrow\) \verb|N=10000;|
 


// je simule N points dans le carré de côté 2 et de centre O

%@Commande-29
\(\rightarrow\) \verb|for i=1:N,x2(i)=2*rand()-1;y2(i)=2*rand()-1;end|
 


// je compte ceux qui sont dans le cercle trigo

%@Commande-30
\(\rightarrow\) \verb|k=0;|
 

%@Commande-31
\(\rightarrow\) \verb|for i=1:N,l2(i)=(x2(i))^2+(y2(i))^2;end|
 

%@Commande-32
\(\rightarrow\) \verb|for i=1:N,if sqrt(l2(i))<1 then k=k+1;z1(k)=x2(i);z2(k)=y2(i);end,end|
 

%@Commande-33
\(\rightarrow\) \verb|n=length(z1)|
\begin{verbatim}
 n  =
\end{verbatim}
\[7889\]
%@Commande-34
\(\rightarrow\) \verb|xx2=[1:n];|
 


// je compte le nombre de cordes correspondantes dont la longueur convient

%@Commande-35
\(\rightarrow\) \verb|for i=1:n,ll(i)=(z1(i))^2+(z2(i))^2;end|
 

%@Commande-36
\(\rightarrow\) \verb|for i=1:n,|

%@Commande-37
\(\rightarrow\) \verb|	if 2*sqrt(1-ll(i))>=sqrt(3) then |

%@Commande-38
\(\rightarrow\) \verb|		eff2(i)=1;|

%@Commande-39
\(\rightarrow\) \verb|	elseif 2*sqrt(1-ll(i))<sqrt(3) then |

%@Commande-40
\(\rightarrow\) \verb|		eff2(i)=0;|

%@Commande-41
\(\rightarrow\) \verb|	end,|

%@Commande-42
\(\rightarrow\) \verb|end|
 

%@Commande-43
\(\rightarrow\) \verb|for i=1:n,f2(i)=(sum(eff2(1:i)))/i;end|
 


// je mets une légende au graphique dont je choisis la couleur du tracé

%@Commande-44
\(\rightarrow\) \verb|legends(["On choisit un point dans le cercle "],[3])|
 

%@Commande-45
\(\rightarrow\) \verb|plot2d(xx2,f2,style=3)|
 



\begin{center}
 \includegraphics[width=0.7\linewidth]{bertrand-003.eps}
\end{center}

\item La quatrième méthode: On choisit un point au hasard sur un rayon 

%@Commande-46
\(\rightarrow\) \verb|N=10000;|
 

%@Commande-47
\(\rightarrow\) \verb|x3=[1:N];|
 




%@Commande-48
\(\rightarrow\) \verb|for i=1:N, tt(i)=rand();l3(i)=2*sqrt(1-(tt(i))^2);end|
 

%@Commande-49
\(\rightarrow\) \verb|for i=1:N,|

%@Commande-50
\(\rightarrow\) \verb|if  l3(i)>=sqrt(3) then eff3(i)=1;|

%@Commande-51
\(\rightarrow\) \verb|elseif  l3(i)<sqrt(3) then eff3(i)=0;|

%@Commande-52
\(\rightarrow\) \verb|end,|

%@Commande-53
\(\rightarrow\) \verb|end|
 

%@Commande-54
\(\rightarrow\) \verb|for i=1:N, f3(i)=(sum(eff3(1:i)))/i;end;|
 

%@Commande-55
\(\rightarrow\) \verb|legends(["On choisit un point M sur un rayon"],[2])|
 

%@Commande-56
\(\rightarrow\) \verb|plot2d(x3,f3,style=2)|
 

\begin{center}
 \includegraphics[width=0.7\linewidth]{bertrand-004.eps}
\end{center}

\end{itemize}

Voici un programme qui trace 30 cordes successivement sur le cercle
trigo, le point $A$ d'affixe 1 étant fixé,  et calcule la fréquence des
cordes de longueur supérieure ou égale à $\sqrt{3}$

(j'espère mettre à profit très prochainement les conseils de Christophe
Poulain pour proposer une figure obtenue grâce à Metapost)

%@Commande-57
\(\rightarrow\) \verb|clf;|
 

%@Commande-58
\(\rightarrow\) \verb|c=0;|
 

%@Commande-59
\(\rightarrow\) \verb|for i=1:30,|

%@Commande-60
\(\rightarrow\) \verb|z=exp(%i*rand()*2*%pi);|

%@Commande-61
\(\rightarrow\) \verb|if abs(z-1)>sqrt(3) then |

%@Commande-62
\(\rightarrow\) \verb|   c=c+1;|

%@Commande-63
\(\rightarrow\) \verb|end;|

%@Commande-64
\(\rightarrow\) \verb|x=[real(z) 1];|

%@Commande-65
\(\rightarrow\) \verb|y=[imag(z) 0];|

%@Commande-66
\(\rightarrow\) \verb|xset("color",3)|

%@Commande-67
\(\rightarrow\) \verb|plot2d(0,0,-1,"031"," ",[-1,-1,1,1])|

%@Commande-68
\(\rightarrow\) \verb|xpoly(x(1:2),y(1:2),"lines",1),|

%@Commande-69
\(\rightarrow\) \verb|xset("color",6)|

%@Commande-70
\(\rightarrow\) \verb|t=exp(%i*0*2*%pi);|

%@Commande-71
\(\rightarrow\) \verb|tt=exp(%i*(1/3)*2*%pi);|

%@Commande-72
\(\rightarrow\) \verb|ttt=exp(%i*(2/3)*2*%pi);|

%@Commande-73
\(\rightarrow\) \verb|u=[real(t) real(tt) real(ttt)];|

%@Commande-74
\(\rightarrow\) \verb|v=[imag(t) imag(tt) imag(ttt)];|

%@Commande-75
\(\rightarrow\) \verb|xpoly(u(1:3),v(1:3),"lines",1)|

%@Commande-76
\(\rightarrow\) \verb|xset("color",2)|

%@Commande-77
\(\rightarrow\) \verb|xarc(-1,1,2,2,0,360*64)|

%@Commande-78
\(\rightarrow\) \verb|end|
 

\begin{center}
 \includegraphics[width=0.7\linewidth]{bertrand-005.eps}
\end{center}
%@Commande-79
\(\rightarrow\) \verb|c/30|
\begin{verbatim}
 ans  =
\end{verbatim}
\[0.4333333\]

En voici un autre qui trace 30 cordes successivement sur le cercle
trigo, en choisissant deux points au hasard sur le cercle

%@Commande-80
\(\rightarrow\) \verb|clf;|
 

%@Commande-81
\(\rightarrow\) \verb|for i=1:30,|

%@Commande-82
\(\rightarrow\) \verb|z=exp(%i*rand()*2*%pi);|

%@Commande-83
\(\rightarrow\) \verb|zz=exp(%i*rand()*2*%pi);|

%@Commande-84
\(\rightarrow\) \verb|x=[real(z) real(zz)];|

%@Commande-85
\(\rightarrow\) \verb|y=[imag(z) imag(zz)];|

%@Commande-86
\(\rightarrow\) \verb|xset("color",3)|

%@Commande-87
\(\rightarrow\) \verb|plot2d(0,0,-1,"031"," ",[-1,-1,1,1])|

%@Commande-88
\(\rightarrow\) \verb|xpoly(x(1:2),y(1:2),"lines",1),|

%@Commande-89
\(\rightarrow\) \verb|xset("color",6)|

%@Commande-90
\(\rightarrow\) \verb|t=exp(%i*0*2*%pi);|

%@Commande-91
\(\rightarrow\) \verb|tt=exp(%i*(1/3)*2*%pi);|

%@Commande-92
\(\rightarrow\) \verb|ttt=exp(%i*(2/3)*2*%pi);|

%@Commande-93
\(\rightarrow\) \verb|u=[real(t) real(tt) real(ttt)];|

%@Commande-94
\(\rightarrow\) \verb|v=[imag(t) imag(tt) imag(ttt)];|

%@Commande-95
\(\rightarrow\) \verb|xpoly(u(1:3),v(1:3),"lines",1)|

%@Commande-96
\(\rightarrow\) \verb|xset("color",2)|


%@Commande-97
\(\rightarrow\) \verb|xarc(-1,1,2,2,0,360*64)|


%@Commande-98
\(\rightarrow\) \verb|end|
 

\begin{center}
 \includegraphics[width=0.7\linewidth]{bertrand-006.eps}
\end{center}
\end{document}
