%TITRE{Exercice 1}
%PTEX{../promaxima12.tex}
%VTEX{\entete}
%ITEX{env=quote}{../note.tex}
%VTEX{\vspace{1cm}}

<[
<style>
.out {
    background-color: white;
    color: green;
}
</style>
]>

%P{Première expérience de correction d'un exercice dans la §ifabrique§
à l'aide de §gMaxima§...}

%S{L'énoncé}
FICHIER:enonce.tex:
On considère la fonction $f$ définie par 
$\displaystyle f(x)=\frac1{e^x-1}$.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que la fonction $g:x\mapsto xf(x)$ est prolongeable 
  par continuité en $0$. Dans la suite, nous identifierons $g$ avec 
  ce prolongement.
 \item Après avoir déterminé le $\mathrm{DL}_4(0)$ de $e^x-1$, calculer 
  le $\mathrm{DL}_3(0)$ de $g(x)$. 
 \item Montrer alors qu'il existe 4 réels $a$, $b$, $c$, $d$ tels que, 
  au voisinage de $0$ sauf en $0$, on ait: 
  $$f(x)=\frac{a}{x}+b+cx+dx^2+o(x^2)$$
  Le membre de droite de l'égalité ci-dessus est le \emph{développement 
  limité généralisé} de $f$, à l'ordre $2$, au voisinage de $0$ 
  ($\mathrm{DLG}_2(0)$).
 \item Déterminer le $\mathrm{DLG}_2(0)$ de 
  $\displaystyle\frac1{\sh x}$.
\end{enumerate}
§

M:texel: f="enonce" patron="latex" taille="1.35"

%S{La correction}

FICHIER:sequence.mac::n:
-
Définition de $f$:
=d
f(x):=1/(exp(x)-1);
-
Définition de $g$:
=d
g(x):=x*f(x);
-
Calculons la limite de $g$ en $0$:
=
limit(g(x),x,0);
-
Cette limite existe donc $g$ est prolongeable par continuité en $0$ en
posant $g(0)=1$.\\
DL$_4(0)$ de $e^x-1$:
=1
taylor(exp(x)-1,x,0,4);
-
En substituant le développement précédent à $e^x-1$ dans l'expression de $g(x)$,
on \emph{voit} une simplification possible par $x$. La quantité qui reste est
de la forme $\frac1{1+u}$ avec $u$:
=
d§1/x-1;
-
On développe $\frac1{1+u}$ au voisinage de $0$, à l'ordre $3$:
=
taylor(1/(1+u),u,0,3);
-
En subtituant le développement de $u$ à $u$ dans l'expression précédente, on obtient
le résultat attendu (que \textbf{Maxima} donne directement):
=2
taylor(g(x),x,0,3);
-
En divisant par $x$ on obtient donc le développement généralisé de $f$ en $0$:
=
d§2/x;
-
Les coefficients $a$, $b$, $c$, $d$ s'obtiennent par lecture ...\\
Pour finir, la même méthode justifierait le DLG$_2(0)$ de $\frac1{\sh x}$:
=
taylor(1/sinh(x),x,0,2);
-
Soyons généreux:
=
taylor(1/(exp(x)-1),x,0,10);
=
taylor(1/sinh(x),x,0,10);
§

M:seq2fab0: f="sequence.mac"