M:entetemax: titre="Exercice -- suite et fonction" taille="1.3" SH:rm -f *.mc SH:rm -f *.png %S{Énoncé} FICHIER:enonce.tex::: \'Etant donnés trois nombres réels $\lambda$, $a$, $b$, on considère la suite $(u_n)$ définie par les conditions suivantes: $$u_0=\lambda\hbox{ et } \forall n \in\N,\, 4u_{n+1}=3u_n^2-2(a+b)u_n+ab+2(a+b)$$ La suite $(u_n)$ est dite \emph{associée} à $\lambda$, $a$, $b$.\\ Les deux parties suivantes sont indépendantes. \paragraph{A --} Dans cette partie, on suppose que $ah(x):=1/4*(3*x^2-2*(a+b)*x+a*b+2*(a+b));def %P{§gPartie A§} %P{§g1/§ Si la suite §m(u_n)§ converge vers §m\ell\in\R§ alors, sachant que l'on a %§mu_{n+1}=h(u_n)§, que §mh§ est une fonction continue en tout point de §m\R§ donc en %§m\ell§, nécessairement: §m\ell=h(\ell)§.} >4*(h(x)-x)=0,expand; %P{§g2/§ §mf(x)§ est le membre de gauche de l'équation précédente.} >f(x):=4*h(x)-4*x;def %P{On détermine §mg§:} >g(x):=integrate(f(t),t,2,x);def %P{On factorise l'expression obtenue.} >factor(g(x)); %P{§mg(x)§ admet trois zéros qui sont §ma§, §mb§ et §m2§.} %P{§g3/§ Le théorème de Rolle s'applique à §mg§ sur les deux segments §m[a,b]§ et %§m[b,2]§, sa dérivée §mf§ s'annule donc une fois à l'§iintérieur§ de ces deux segments et comme elle ne s'annule au plus que deux fois (polynôme de degré 2), on a là ses deux zéros distincts, §m\ell§ est l'un d'eux.} %P{§gPartie B§} %P{On particularise la fonction §mf§ dans ce cas où §ma=2§ et §mb=2§.} >f2(x):=ev(f(x),a=2,b=2);def >factor(f2(x)); %P{§g1/§ Comme on le voit dans la factorisation précédente, l'équation §mf(x)=0§ ou encore §mh(x)=x§ n'admet qu'une seule solution: §m2§, ce qui permet de justifier que lorsque la suite §m(u_n)§ converge, elle converge nécessairement vers §m2§.} %P{§g2/§ Le signe de §mh(x)-x§ étant toujours positif, on peut en déduire que §m(u_n)§ est croissante quelle que soit la valeur de §m\lambda§.} %P{§g3/§ Une étude des variations de §mh§ sur §m\R§ montre que l'intervalle §m]\frac23,2[§ est §istable§. Si §mu_0=\lambda§ est dans cet intervalle alors (récurrence) tous les termes de §m(u_n)§ y seront, la suite est donc bornée. Comme elle est croissante elle converge et sa limite est §m2§.} %P{§g4/§ Toujours d'après l'étude des variations de §mh§, on peut établir que si §mu_0=\lambda§ n'appartient pas à §m[\frac23,2]§ alors tous les termes de la suite §m(u_n)§, à partir du rang §m1§, sont strictement supérieurs à §m2§. La suite §m(u_n)§ ne peut alors converger vers §m2§, seule limite possible, puisqu'elle est croissante. Dans ce cas elle diverge.} %P{§g5/§ Si §m\lambda=\frac23§ ou §m\lambda=2§, alors la suite est §istationnaire§ à partir du rang §m1§ et vaut §m2§.} § M:seq2fabA: f="sequence" %P{Voici, pour finir, une représentation de la fonction §mh§ permettant de mieux visualiser les scénarios de la §gpartie B§.} M:fabjps: f="h" %RM{*.tmp *.dvi *.log *.aux *.tex}