M:entetemax: titre="Exercice - étude de fonction" taille="1.3"
SH:rm -f *.mc *.png

%S{Énoncé}
FICHIER:enonce.tex:::
$f$ est la fonction définie pour tout réel $x$ par:
\[f(x)={{x\ch x - \sh x}\over {\ch x -1 }}\quad \hbox{si}\quad x\ne 0,\quad 
f(0) = \ell\]
où $\ell$ est un réel.
On note ${\cal C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère 
orthonormé.
\begin{enumerate}
   \item Déterminer le développement limité de $f$ à l'ordre $3$ au voisinage
   de $0$.  En déduire $\ell$ pour que $f$ soit continue en 0. Dans la suite, on
   donne à $\ell$ cette valeur.
   \item Montrer que $f$ est dérivable en 0 et préciser la position 
   de $\mathcal{C}$ par rapport à sa tangente au point d'abscisse $0$.
   \item  Montrer que $f$ est croissante sur $[0,+\infty[$.
   \item Préciser la droite asymptote à $\mathcal{C}$  au voisinage de
   $+\infty$ et préciser la position de $\mathcal{C}$ par rapport à cette
   asymptote.  Tracer $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
§

M:texel: f="enonce" patron="latex"

%S{Corrigé}

FICHIER:sequence.txt::n:
>f(x):=(x*cosh(x)-sinh(x))/(cosh(x)-1);def
%P{§g1/§ Un rapide §icalcul de tête§ nous indique que le numérateur et
le dénominateur de l'expression §mf(x)§ sont d'ordre §m3§ et §m2§ en §mx§ au
voisinage de §m0§. Pour obtenir un développement limité à l'ordre §m3§
en §m0§ de §mf(x)§ il faut donc anticiper la simplification par §mx^2§
et développer le numérateur et le dénominateur à l'ordre §m5§. Enfin,
si on devait le faire à la main...}
>taylor(f(x),x,0,3);
%P{La limite de §mf(x)§ est donc §m0§, il suffit de poser §m\ell=0§ pour
que §mf§ soit continue en §m0§.}
>c:limit(f(x)/x,x,0);
%P{§g2/§ §mf§ est dérivable en §m0§ (ce que l'on pouvait déduire du développement
précédent) et §mf'(0)=\frac23§.}
>taylor(f(x)-c*x,x,0,3);
%P{La différence §mf(x)-\frac23x§ est équivalente à §m\frac1{90}x^3§ au
voisinage de §m0§, la courbe représentative de §mf§ traverse donc sa
tangente à l'origine, elle passe de dessous au dessus (point d'§iinflexion§).}
>diff(f(x),x);
%P{§g3/§ Le signe de la dérivée n'est pas simple à déterminer sous cette
forme, on factorise!}
>factor(%);
%P{Là, les choses sont plus nettes. La quantité dont le signe n'est pas
%§iimmédiat§ est §m\sh(x)-x§, on a toutefois vite fait de se convaincre
qu'elle est positive sur §m\R_+§, en s'appuyant sur le signe de sa dérivée
qui est manifestement positive. La fonction §mf§ est croissante sur §m[0,+\infty[§.}
>a:limit(f(x)/x,x,inf);
>b:limit(f(x)-a*x,x,inf);
%P{§g4/§ Les deux calculs précédents prouvent l'existence d'une droite asymptote
à §m\mathcal{C}§, son équation est §my=x-1§.}
>g(x):=f(x)-a*x-b;def
>exponentialize:true$
%P{L'étude de la position de la courbe par rapport à son asymptote au voisinage
de §m+\infty§ peut être faite en recherchant un équivalent de §mg(x)=f(x)-x+1§.
Demander, comme cela, un développement de §mg(x)§ ne convient pas à §gmaxima§, 
c'est pourquoi on passe à l'écriture à l'aide d'exponentielles des fonctions
%§m\sh§ et §m\ch§.}
>factor(g(x));
%P{La factorisation de §mg(x)§ §iprépare§ le développement à suivre.}
>taylor(%,x,inf,1);
%P{Un équivalent de §mg(x)§ au voisinage de §m+\infty§ est §m2xe^{-x}§
qui est positif. La courbe §m\mathcal{C}§ est donc au dessus de son asymptote
vers §m+\infty§.}
§

M:seq2fabA: f="sequence"

FICHIER:courbe.tex:::
\begin{center}
\includegraphics{courbe.1}
\end{center}
§
FICHIER:courbe.1:*:n:
M:texelimgc: f="courbe" patron="latexg"
%RM{*.tex *.aux *.dvi *.log *.tmp}