\Titre{Terminale Ssv1 -- Devoir N°11}

\begin{gbar}
Dans un repère orthonormal $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$ ,on considère
le cercle $(\Omega )$ de centre $O$ et de rayon $1$ (la figure est à la fin du document).

On pose:\quad  $\overrightarrow{OH}=x .\overrightarrow\imath$.

\begin{enumerate}
    \item Calculer l'aire du triangle $MNI$ en fonction de $x$.
    \item On considère la fonction $f$ définie sur $[-1;1]$ par $f(x)=(1-x).\sqrt{1-x^2}$.

    Étudier la dérivabilité de $f$ en 1 et -1.
    On note  $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal.
    En déduire une équation des tangentes à la courbe  $\mathcal{C}_f$  aux points d'abscisses $1$ et $-1$.
    \item Étudier les variations de $f$ sur $[-1;1]$.
    \item Tracer la courbe  $\mathcal{C}_f$.
    \item Pour quelle valeurs de $x$ l'aire du triangle $MNI$ est-elle maximale? Calculer alors cette aire.
    \item Démontrer qu'il existe un réel noté $\mu $,autre que 0, qui vérifie $f(\mu)=1$.
    \item Déterminer, à $10^{-2}$  près, une  valeur approchée de $\mu$ par défaut .
\end{enumerate}
\end{gbar}

\begin{enumerate}

    \item L'aire du triangle $MIN$ est égale à $(1-x)\sqrt{1-x^2}$. 
    
    \item Nous commençons par définir la fonction $f$ au niveau de \textsc{maxima}.

.m f(x):=(1-x)*sqrt(1-x^2);

    Afin d'étudier la dérivabilité de $f$ en $1$ et $-1$, nous allons
    définir le taux d'accroissement de $f$ entre deux points $x$ et $y$
    de façon générale.
.m T(x,y):=(f(y)-f(x))/(y-x);
    Calculons la limite de ce taux entre $x$ et $1$, lorsque $x$ tend
    vers $1$, à gauche.
.m limit(T(x,1),x,1,minus);
    $f$ est donc dérivable en $1$ et sa courbe $\mathcal{C}_f$ admet une
    tangente horizontale en ce point.

    Procédons à la même étude locale, en $-1$.
.m limit(T(x,-1),x,-1,plus);
    $f$ n'est pas dérivable en $-1$ et $\mathcal{C}_f$ admet une
    tangente verticale en ce point.

    \item Pour déterminer les variations de $f$ sur $[-1,1]$, il nous suffit
    d'étudier sa dérivée.
.m a:diff(f(x),x);
    Essayons de simplifier...
.m a:radcan(a);
    Nous allons noter $g$ la dérivée de $f$.
.m define(g(x),a);
    Maintenant passons à la factorisation de $g$:
.m factor(g(x));
    Les zéros de $g$ sont $1$ et $-\frac12$, ce que nous pouvons
    retrouver avec \textsc{maxima}.
.m s:solve(g(x)=0);
    Entre ces valeurs, la dérivée de $f$ est négative; à l'extérieur
    elle est positive. Par ailleurs les valeurs atteintes par $f$ sont,
    en ces points, respectivement:
.m map(f,map(rhs,s));

    \item La représentation de $f$ est la suivante:
    \begin{center}\includegraphics[scale=0.8]{fig2}\end{center}
    
    \item L'aire du triangle $MNI$ est maximale pour $x=-\frac12$ et elle vaut alors
    $\frac{3\sqrt3}4$. Autrement dit: \emph{l'aire d'un triangle isocèle inscrit dans
    un cercle donné est maximale lorsque le triangle est équilatéral}!
    
    \item L'existence de $\mu$ distinct de $0$ tel que $f(\mu)=1$ s'obtient par le fait 
    que $f$ réalise une bijection de $[-1,-\frac12]$ sur $[0,\frac{3\sqrt3}4]$. Elle se
    conjecture à partir de la représentation.
    
    Essayons de le retrouver avec \textsc{Maxima}.
.m solve(f(x)=1);
    La réponse est ce qu'elle est, loin d'être satisfaisante. En remarquant que $f$ est
    positive, l'équation $f(x)=1$ est équivalente à $f(x)^2=1$.
.m M:transpose(solve(f(x)^2=1));
    Il y a quatre solutions dont deux sont, selon les apparences, complexes. On retrouve $0$
    comme racine réelle et $\mu$ qui doit être en avant dernière position.
    
    Quelle a été l'équation effectivement résolue?
.m e:expand(f(x)^2-1=0);
    C'est une équation du quatrième degré...
.m factor(e);
    Qui, en réalité, se réduit à la résolution d'une équation du troisième degré, ce que
    \textsc{maxima} sait faire (méthode de \textsc{Cardan}).
    
    Isolons maintenant une expression de $\mu$:
.m mu:rhs(part(solve(f(x)^2=1),3));
    Donnons-en une approximation:
.m >float2bf:true$
.m a:float(bfloat(float(mu)));
    Voici une approximation de $\mu$ qui semble satisfaisante.    
.m f(a);
    Enfin, tout est relatif. Les  derniers chiffres donnés dans l'approximation de $\mu$ ne sont
    pas significatifs
\end{enumerate}

\begin{center}\includegraphics{fig1}\end{center}