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\Titre{Étude d'une suite définie par récurrence}

\begin{gbar}
    On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par $u_0=2$ et
    $$\forall n\in\N,\quad u_{n+1}=\frac23\left(u_n+\frac1{u_n^2}\right)$$
    Étudier le comportement de la suite $(u_n)$.
\end{gbar}

Commençons par définir la fonction qui se \emph{cache} derrière cette suite, 
$f:x\mapsto\frac23\left(x+\frac1{x^2}\right)$.

.m f(x):=2/3*(x+1/x^2);
.m assume(x>0);

L'intervalle $]0,+\infty[$ est \emph{stable} par $f$, \emph{i.e.} si
$x\in]0,+\infty[$ alors $f(x)$ est défini et $f(x)\in]0,+\infty[$. Ceci
permet de justifier l'\emph{existence} de la suite $u$:

.m u[n]:=f(u[n-1]);
.m u[0]:2;

Calculons les premiers termes:

.m valeurs:makelist(u[i],i,0,5);

Nous obtenons des rationnels, passons aux \emph{flottants}:

.m float(valeurs);

Cela \emph{semble} converger. Recherchons l'éventuelle limite de la suite,
un \emph{point fixe} de $f$.

.m ptfixes:solve(f(x)=x);

Il y a un seul point fixe réel, le troisième.
.m float(ptfixes[3]);

$u_5$ est bien proche de ce point fixe ($\sqrt[3]{2}$)... tout en étant supérieur.

Regardons de plus près la fonction $f$, en particulier le signe de sa dérivée lorsque
$x\ge\sqrt[3]{2}$, c'est à dire $x^3\ge2$.

.m assume(x^3-2>=0);
.m sign(diff(f(x),x));

La dérivée de $f$ est donc positive sur $I=[\sqrt[3]{2},+\infty[$, $f$
est croissante sur cet intervalle. Compte tenu que la borne inférieure
de $I$ est point fixe et qu'il est non borné à droite, il est stable par
$f$. Autrement dit tout les termes de la suite $(u_n)$ sont dans $I$
dans la mesure ou le premier d'entre eux y est (récurrence). D'où:
$$\forall n\in\N,\quad u_n\ge \sqrt[3]{2}$$


Déterminons le signe de $f(x)-x$, toujours pour $x\ge \sqrt[3]{2}$:
.m sign(f(x)-x);

D'où: $\forall n\in\N,\, u_{n+1}-u_n\le 0$, la suite $(u_n)$ est donc
décroissante. Nous pouvons conclure: $(u_n)$ est décroissante et
minorée, elle est convergente (théorème), sa limite est la seule limite
possible: $\sqrt[3]{2}$.

\begin{center}\includegraphics{etude04-fig}\end{center}

Sur cette figure, nous retrouvons l'illustration des propriétés misent
en avant pour justifier la convergence de la suite $(u_n)$.