\Titre{DPECF --- Devoir N°8}


\begin{gbar}
Une entreprise fabrique un objet $P$. $x$ étant le nombre d'objets $P$,
exprimé en centaines, fabriqués par cette usine, $f(x)$ est leur coût
total, exprimé en milliers d'euros. 

On suppose que $x$ appartient à l'intervalle $[0;+\infty[$ et que
$f(x)=0.4x+e^{-0.4x+1}$.

Chaque objet est vendu 5 euros pièce.

On suppose que la fabrication est vendue dans sa totalité.

\begin{enumerate}

    \item Exprimer la recette $R(x)$, en milliers d'euros, en fonction
    du nombre $x$ de centaines d'objets fabriqués.

    \item  Exprimer le bénéfice, noté $B(x)$,  en milliers d'euros, en
    fonction de la quantité $x$ d'objets $P$ fabriqués et vendus.

    \item Quel est, en euros, le bénéfice obtenu en fabricant 1000
    objets? On donnera une valeur arrondie à l'euro.

    \item Étudier les variations de $B$ sur $[0;+\infty[$. Tracer la
    courbe représentative de B dans un repère orthogonal 
    $(O;\vec{\imath};\vec{\jmath})$ pour $x\in [0;10]$.

    \item Remarquer  que l'équation B(x) = 0 admet une solution unique, 
    notée $\mu$, appartenant à $[0;10]$. Donner une valeur approchée de
    $\mu$  à $10^{-3}$ près.

    \item En déduire le nombre entier minimal d'objets P à 
    produire pour que l'entreprise commence à gagner de l'argent

\end{enumerate}
\end{gbar}


Commençons par définir la fonction $B$ qui donne le bénéfice réalisé
pour la fabrication et la vente de $x$ centaines d'objets,
$B:x\mapsto f(x)= 0.4x+e^{-0.4x+1}$.

.m B(x):=0.1*x-EXP((-0.4)*x+1);

Calculons ensuite en euros le bénéfice obtenu pour 1000 objets. On doit
donc calculer $B(10)$ puis le convertir en euros.

.m B(10)*1000;

Celà donne donc un bénéfice de 950 euros.

Pour étudier les variations de $B$ ,nous calculons donc sa dérivée sur $\R$.

.m diff(B(x),x);

Nous remarquons que cette dérivée est strictement positive sur $\R$,
donc la fonction $B$ est strictement croissante.

Nous avons remarqué que $B(10)$ était positif. Calculons maintenant $B(0)$.

.m float(B(0));

Nous constatons que $B(0)$ est strictement négatif et $B(10)$
strictement positif, donc, puisque $B$ est strictement croissante sur
$[0;10]$, l'équation $B(x)=0$ admet une solution unique, notée
$\mu$, dans $[0;10]$. Nous pouvons le constater en regardant la courbe
représentative de $B$

\begin{center} \includegraphics[scale=0.6]{fig} \end{center}

Calculons une valeur approchée de $\mu$ à $10^{-3}$ près.Pour celà, on
tape la commande \textsl{interpolate} .

.m interpolate(B(x),x,0,10);

Nous en déduisons donc que l'entreprise commence à gagner de l'argent
dès que $x$ est supérieur à $\mu$, ce qui correspond à la vente de 450
objets $P$ au moins.