\Titre{Calcul de l'espérance et de la variance d'une variable suivant une loi exponentielle}
\setlength\parskip{0.5\baselineskip}

\begin{gbar}
    On considère $X$ une variable aléatoire continue suivant la loi
    exponentielle de paramètre $a$. Nous allons calculer son espèrance    
    mathématique et sa variance.
\end{gbar}

Commençons par rappeler la densité de probabilité de $X$. C'est la fonction $f$ définie sur 
$[0;+\infty[$ par:
$$f:x\mapsto a\,e^{-ax}$$

.m f(x):=a*exp(-a*x);
.m assume(a>0)$
Nous savons que l'espèrance de $X$ est le réel, noté $E(X)$ égal à
$\int_0^{+\infty}x\, f(x)\,\mathrm{d}x$. Nous allons utiliser la méthode
d'intégration par parties pour calculer cette intégrale. Nous avons
énoncé en cours la propriété.

Le logiciel \textsc{Maxima} ne sait pas \emph{mettre en scène}
l'intégration par parties, aussi, allons-nous définir au préalable la
commande  qui présentera le calcul.

.m 
ipp(u,v,x) := block([U],
    U:integrate(u,x),
    'integrate(u*v,x)=U*v-'integrate(U*diff(v,x),x)
)$
.fin
Vous pouvez constater que celà correspond à la formule donnée en cours.

Cette commande nous donnera une primitive de la fonction à intégrer
$u\,v$, il faudra ensuite calculer l'intégrale  correspondante sur
l'intervalle $[0;+\infty[$.
.m ipp(f(x),x,x);

Il reste à calculer la variation de cette primitive entre $0$ et $+\infty$.

.m integrate(exp(-a*x),x,0,inf)+limit(x*exp(-a*x),x,inf)-limit(x*exp(-a*x),x,0);
Nous retrouvons donc bien que l'espérance de $X$ est égale à $\dfrac1a$.

\textbf{Remarque} -- \textsc{maxima} sait calculer directement l'intégrale recherchée.
.m 'integrate(x*f(x),x,0,inf)=integrate(x*f(x),x,0,inf);

Puisque vous avez compris le principe (!!), je vous propose de la même manière de 
calculer la variance de $X$.

Rappel: $Var(X)=\int_0^{+\infty}x^2f(x)dx-(E(X))^2$.